【題目】如圖1,⊙O的直徑AB為4,C為⊙O上一個(gè)定點(diǎn),∠ABC=30°,動點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)沿半圓弧 向B點(diǎn)運(yùn)動(點(diǎn)P與點(diǎn)C在直徑AB的異側(cè)),當(dāng)P點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)時(shí)運(yùn)動停止,在運(yùn)動過程中,過點(diǎn)C作CP的垂線CD交PB的延長線于D點(diǎn).
(1)求證:△ABC∽△PDC
(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)B點(diǎn)時(shí),求CD的長;
(3)設(shè)CD的長為 .在點(diǎn)P的運(yùn)動過程中, 的取值范圍為(請直接寫出案).
【答案】
(1)證明:∵AB為⊙O的直徑,
∴∠ACB=90°,
∴∠ACB=∠PCD,
又∵∠A=∠P,
∴△ABC∽△PDC
(2)解:∵∠ABC=30°,AB=4,
∴BC= ,
∵△ABC∽△PDC,
∴∠D=∠ABC=30°,
∴CD=6
(3)解:如圖,
∵AB是直徑,∠ABC=30°,AB=4
∴∠ACB=90°,∠A=∠P=60°,AC=2,
∵CD⊥PC,
∴∠PCD=90°,CD=PCtan60°,
∵PC的最小值=AC=2,PC的最大值為直徑=4,
∴CD的最小值為2 ,最大值為4 ,
∴2 ≤CD≤4
【解析】(1)利用圓周角定理,進(jìn)而用"兩角法"證出相似;(2)利用30度角的正切,由AB求出BC,再求出CD;(3)可用PC及三角函數(shù)表示出CD,當(dāng)PC最小時(shí),CD最小,CD最大,PC最大.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用圓周角定理的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握頂點(diǎn)在圓心上的角叫做圓心角;頂點(diǎn)在圓周上,且它的兩邊分別與圓有另一個(gè)交點(diǎn)的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,四邊形ABCD是菱形,AD=5,過點(diǎn)D作AB的垂線DH,垂足為H,交對角線AC于M,連接BM,且AH=3.
(1)求證:DM=BM;
(2)求MH的長;
(3)如圖2,動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿折線ABC方向以2個(gè)單位/秒的速度向終點(diǎn)C勻速運(yùn)動,設(shè)△PMB的面積為S(S≠0),點(diǎn)P的運(yùn)動時(shí)間為t秒,求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式;
(4)在(3)的條件下,當(dāng)點(diǎn)P在邊AB上運(yùn)動時(shí)是否存在這樣的 t值,使∠MPB與∠BCD互為余角,若存在,則求出t值,若不存,在請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)如圖1,在矩形ABCD中,對角線AC與BD相交于點(diǎn)O,過點(diǎn)O作直線EF⊥BD,且交AD于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)F,連接BE,DF,且BE平分∠ABD.
①求證:四邊形BFDE是菱形;
②直接寫出∠EBF的度數(shù).
(2)把(1)中菱形BFDE進(jìn)行分離研究,如圖2,G,I分別在BF,BE邊上,且BG=BI,連接GD,H為GD的中點(diǎn),連接FH,并延長FH交ED于點(diǎn)J,連接IJ,IH,IF,IG.試探究線段IH與FH之間滿足的關(guān)系,并說明理由;
(3)把(1)中矩形ABCD進(jìn)行特殊化探究,如圖3,矩形ABCD滿足AB=AD時(shí),點(diǎn)E是對角線AC上一點(diǎn),連接DE,作EF⊥DE,垂足為點(diǎn)E,交AB于點(diǎn)F,連接DF,交AC于點(diǎn)G.請直接寫出線段AG,GE,EC三者之間滿足的數(shù)量關(guān)系.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】觀察下列各式及其驗(yàn)證過程:
按照上述兩個(gè)等式及其驗(yàn)證過程的基本思路,猜想的變形結(jié)果并進(jìn)行驗(yàn)證;
針對上述各式反應(yīng)的規(guī)律,寫出用為任意自然數(shù),且表示的等式,并說明它成立.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AB=AD,CB=CD,對角線AC,BD相交于點(diǎn)O,下列結(jié)論中:①∠ABC=∠ADC;②AC與BD相互平分;③AC,BD分別平分四邊形ABCD的兩組對角;④四邊形ABCD的面積S=ACBD.
(1)寫出正確結(jié)論的序號;
(2)證明所有正確的結(jié)論.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直角坐標(biāo)平面內(nèi),點(diǎn)A的坐標(biāo)是,點(diǎn)B的坐標(biāo)是
(1)圖中點(diǎn)C關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)D的坐標(biāo)是 .
(2)如果將點(diǎn)B沿著與x軸平行的方向向右平移3個(gè)單位得到點(diǎn),那么、兩點(diǎn)之間的距離是 .
(3)求四邊形ABCD的面積
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知∠1=∠2,∠5=∠6,∠3=∠4,試說明AE∥BD,AD∥BC.請完成下列證明過程.
證明:
∵∠5=∠6,
∴AB∥CE( ),
∴∠3=__________
∵∠3=∠4,
∴∠4=∠BDC( ),
∴ ∥BD( ),
∴∠2= ( )
∵∠1=∠2,
∴∠1=______,
∴AD∥BC
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】四邊形ABCD中,對角線AC、BD相交于點(diǎn)O,給出下列四組條件:①AB∥CD,AD∥BC;②AB=CD,AD=BC;③AO=CO,BO=DO;④AB∥CD,AD=BC。其中一定能判斷這個(gè)四邊形是平行四邊形的條件共有
A. 1組 B. 2組 C. 3組 D. 4組
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,AB=BC=CA,∠A=∠ABC=∠ACB,在△ABC的頂點(diǎn)A,C處各有一只小螞蟻,它們同時(shí)出發(fā),分別以相同速度由A向B和由C向A爬行,經(jīng)過t(s)后,它們分別爬行到了D,E處,設(shè)DC與BE的交點(diǎn)為F.
(1)△ACD≌△CBE嗎?為什么?
(2)小螞蟻在爬行過程中,DC與BE所成的∠BFC的大小有無變化?請說明理由.
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