Question

如圖，已知拋物線與x軸的交點為A、D（A在D的右側(cè)），與y軸的交點為C．

（1）直接寫出A、D、C三點的坐標；

（2）若點M在拋物線上，使得△MAD的面積與△CAD的面積相等，求點M的坐標；

（3）設(shè)點C關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為B，在拋物線上是否存在點P，使得以A、B、C、P四點為頂點的四邊形為梯形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

 

 

Answer 1

（1）A點坐標為（4，0），D點坐標為（﹣2，0），C點坐標為（0，﹣3）；

（2）M點坐標為（2，﹣3）或（1+，3）或（1﹣，3）；

（3）結(jié)論：在拋物線上存在一點P，使得以點A、B、C、P四點為頂點所構(gòu)成的四邊形為梯形；點P的坐標為（﹣2，0）或（6，6）．

【解析】

試題分析：(1)令Y=0,X=0就可以得到

根據(jù)已知先求得對稱軸,由于△MAD的面積與△CAD的面積相等,所以有兩種情況,一種是點M在X軸下方,此時點M與點C關(guān)于對稱軸對稱,另一種是點M在X軸上方,由于面積相等,而AD是兩個三角形公用的,所以可知點M的縱坐標為3,將Y=3代入解析式就可求得.

分情況討論,一種是BC、AP為底，此時P點與D點重合；一種是AB、CP為底，此時要先求出AB所在直線的解析式，然后根據(jù)互相平行的兩直線的K值相等，求出CP的解析式，與二次函數(shù)的解析式聯(lián)立，得到方程組，求解即可得到。

試題解析：（1）∵y=x2﹣x﹣3，∴當y=0時，x2﹣x﹣3=0，

解得x1=﹣2，x2=4．當x=0，y=﹣3．

∴A點坐標為（4，0），D點坐標為（﹣2，0），C點坐標為（0，﹣3）；

（2）∵y=x2﹣x﹣3，∴對稱軸為直線x==1．

∵AD在x軸上，點M在拋物線上，

∴當△MAD的面積與△CAD的面積相等時，分兩種情況：

①點M在x軸下方時，根據(jù)拋物線的對稱性，可知點M與點C關(guān)于直線x=1對稱，

∵C點坐標為（0，﹣3），∴M點坐標為（2，﹣3）；

②點M在x軸上方時，根據(jù)三角形的等面積法，可知M點到x軸的距離等于點C到x軸的距離3．當y=3時，x2﹣x﹣3=3，解得x1=1+，x2=1﹣，

∴M點坐標為（1+，3）或（1﹣，3）．

綜上所述，所求M點坐標為（2，﹣3）或（1+，3）或（1﹣，3）；

（3）結(jié)論：存在．

如圖所示，在拋物線上有兩個點P滿足題意：

①若BC∥AP1，此時梯形為ABCP1．

由點C關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為B，可知BC∥x軸，則P1與D點重合，

∴P1（﹣2，0）．∵P1A=6，BC=2，∴P1A≠BC，∴四邊形ABCP1為梯形；

②若AB∥CP2，此時梯形為ABCP2．

∵A點坐標為（4，0），B點坐標為（2，﹣3），∴直線AB的解析式為y=x﹣6，

∴可設(shè)直線CP2的解析式為y=x+n，將C點坐標（0，﹣3）代入，得b=﹣3，

∴直線CP2的解析式為y=x﹣3．∵點P2在拋物線y=x2﹣x﹣3上，

∴x2﹣x﹣3=x﹣3，化簡得：x2﹣6x=0，解得x1=0（舍去），x2=6，

∴點P2橫坐標為6，代入直線CP2解析式求得縱坐標為6，∴P2（6，6）．

∵AB∥CP2，AB≠CP2，∴四邊形ABCP2為梯形．

綜上所述，在拋物線上存在一點P，使得以點A、B、C、P四點為頂點所構(gòu)成的四邊形為梯形；點P的坐標為（﹣2，0）或（6，6）．

考點：1、二次函數(shù)的性質(zhì)；2、等積三角形；3、梯形；4、解方程