Question

正方形ABCD和正方形AEFG有一公共點(diǎn)A，點(diǎn)G．E分別在線段AD、AB上（如圖（1）所示），連接DF、BF．
（1）求證：DF=BF，
（2）若將正方形AEFG繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)，連接DG、BE（如圖（2）所示），在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，請(qǐng)猜想線段DG、BE始終有什么數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系并證明你的猜想．

Answer 1

（1）證明：∵AD=AB，AG=AE=EF=FG，
∠DGF=∠BEF=90°，
∴DG=BE，
∴△DGF≌△BEF，
∴DF=BF．

（2）猜想：DG=BE，DG⊥BE．
證明：如圖，由正方形性質(zhì)與旋轉(zhuǎn)知AD=AB，AG=AE，∠DAG=∠BAE，
∴△DAG≌△BAE，
∴DG=BE，∠ADG=∠ABE，
延長(zhǎng)DG交BE或延長(zhǎng)線于H，交AB于I，
∵∠ADG=∠ABE，∠DIA=∠BIH，
又∵∠ADG+∠DIA=90°，
∴∠ABE+∠BIH=90°，
∴∠DHB=90°，
即DG⊥BE．
分析：（1）由正方形的性質(zhì)可證△DGF≌△BEF，即證DF=BF．
（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)可證△DAG≌△BAE，得DG=BE，同時(shí)延長(zhǎng)DG交BE或延長(zhǎng)線于H，交AB于I，可證∠DHB=90°，即DG⊥BE．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)變化，以及正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定，是一道綜合性較強(qiáng)的題目．