Question

如圖，一次函數(shù)y=kx+b交兩軸于A、B兩點(diǎn)，M（-1，0），AM=，N為y軸的正半軸上一點(diǎn)，AM與BN相交于點(diǎn)P，AN=OM，AO=BM．
（1）求一次函數(shù)的解析式；
（2）求四邊形PMOC的面積；
（3）過N作NC⊥AM于C，求證：PN=．

Answer 1

（1）解：由M（-1，0），得到OM=1，
在Rt△AOM中，OM=1，AM=，
根據(jù)勾股定理得：AO==3，
∴A（0，3），
又∵AO=BM=3，OM=1，
∴OB=OM+MB=4，即B（-4，0），
將A與B坐標(biāo)代入y=kx+b中得：，
解得：，
則一次函數(shù)解析式為y=x+3；

（2）解：∵AN=OM=1，OA=3，
∴ON=3-1=2，即N（0，2），
設(shè)直線BN解析式為y=mx+n，將N與B坐標(biāo)代入得：，
解得：，
則直線BN解析式為y=x+2，
同理直線AM解析式為y=3x+3，
聯(lián)立兩解析式得：，
解得：，即P（-，），
則S_{四邊形PMON}=S_△BON-S_△BMP=OB•ON-BM•|y_{P縱坐標(biāo)}|=×4×2-×3×=；

（3）證明：過N作NC⊥AM，過M作MQ⊥BN，如圖所示，
∵P（-，），B（-4，0），
∴BP==，
∴S_△BMP=BP•QM=××QM=×3×，即QM=，
在Rt△BMQ中，BM=3，QM=，
根據(jù)勾股定理得：BQ==，
則PQ=BP-BQ=-==QM，
∴△PQM為等腰直角三角形，
∴∠QPM=45°，
∴∠CPN=∠QOM=45°，又∠PCN=90°，
∴sin∠CPN=sin45°==，
則PN=NC．
分析：（1）由M的坐標(biāo)得到OM的長，在直角三角形AOM中，由OM與AM的長，利用勾股定理求出OA的長，確定出A的坐標(biāo)，由BM=AO求出BM的長，再由BM+OM求出OB的長，確定出B的坐標(biāo)，將A與B坐標(biāo)代入一次函數(shù)y=kx+b中求出k與b的值，即可確定出一次函數(shù)解析式；
（2）四邊形PMON的面積=三角形BON面積-三角形BPM面積，由AN=OM求出AN的長，再由OA-AN求出ON的長，確定出N坐標(biāo)，由OB與ON長求出三角形BON面積，設(shè)直線BN解析式為y=mx+n，將N與B坐標(biāo)代入求出m與n的值，確定出直線BN解析式，同理確定出直線AM解析式，聯(lián)立兩解析式求出交點(diǎn)P的坐標(biāo)，由BM與P縱坐標(biāo)的絕對(duì)值求出三角形BMP的面積，進(jìn)而求出四邊形PMON的面積；
（3）過N作NC⊥AM，過M作MQ⊥BN，由P與B坐標(biāo)利用兩點(diǎn)間的距離公式求出BP的長，再由（2）求出的三角形BPM的面積，利用面積公式求出BP邊上高M(jìn)Q的長，在直角三角形BMQ中，由BM與MQ的長，利用勾股定理求出BQ的長，由BP-BQ求出PQ的長，發(fā)現(xiàn)PQ=MQ，可得出三角形PQM為等腰直角三角形，再根據(jù)對(duì)頂角相等得到∠CPN=∠QOM=45°，在直角三角形CPN中，利用銳角三角函數(shù)定義及特殊角的三角函數(shù)值化簡，即可得證．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了一次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：待定系數(shù)法確定一次函數(shù)解析式，兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，兩點(diǎn)間的距離公式，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，以及特殊角的三角函數(shù)值，靈活運(yùn)用待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．