Question

【題目】如圖1，拋物線交軸于點和點，交軸于點，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，，點是拋物線上第二象限內(nèi)一點.

（1）求二次函數(shù)和一次函數(shù)的表達式；

（2）過點作軸的平行線交于點，作的垂線交于點，設點的橫坐標為，的周長為.

①求關于的函數(shù)表達式；

②求的周長的最大值及此時點的坐標；

（3）如圖2，連接，是否存在點，使得以，，為頂點的三角形與相似？若存在，直接寫出點的橫坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）拋物線為y= -x2-x+4；一次函數(shù)的表達式為y=x+4；（2）①關于的函數(shù)表達式為，②的周長的最大值為 ，此時點P；（3）點的橫坐標為 或.

【解析】

（1）把點A、B、C的坐標代入拋物線或直線表達式，即可求解；
（2）設點P坐標為（t，-t2-t+4），令-t2-t+4=x+4，解得：x= ，PD= ，利用△PDM∽△CBO，即可求解；
（3）分∠PCM=∠CBO、∠PCM=∠BCO，兩種情況求解即可．

解：（1）把點和點代入拋物線，

得，解得，∴拋物線為；

令，，解得或，

∴，

把，代入一次函數(shù)，

得，解得，∴一次函數(shù)的表達式為；

（2）由題意，，，

∴，周長為12，

∵，，

令，解得，

∴，

∵軸，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴關于的函數(shù)表達式為，

∵，

∴當時，的周長的最大值為，

此時點；

（3）存在，點的橫坐標為或.

①如圖1，當時，

即，此時，

令，

解得（舍去）或；

②如圖2，當時，

即，作點關于直線的對稱點，

直線交拋物線于另一點即為所求的點，作軸于.

易得，，得，，

∴點，

可得直線的表達式為，求得點的橫坐標為.

故答案為：（1）拋物線為y= -x2-x+4；一次函數(shù)的表達式為y=x+4；（2）①關于的函數(shù)表達式為，②的周長的最大值為 ，此時點P；（3）點的橫坐標為 或.