Question

6．如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=6，BC=4，∠B=60°，點E是邊AB上的一點，點F是邊CD上一點，將平行四邊形ABCD沿EF折疊，得到四邊形EFGH，點A的對應點為點C，點D的對應點為點G．則△CEF的面積$\frac{7\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)得出∠B=∠G，∠BCE=∠GCF，BC=GC，然后根據(jù)AAS證明△BCE≌△GCF，得出CE=CF，過E點作EP⊥BC于P，設(shè)BP=m，則BE=2m，通過解直角三角形求得EP=$\sqrt{3}$m，然后根據(jù)折疊的性質(zhì)和勾股定理求得EC，進而根據(jù)三角形的面積即可得出結(jié)果．

解答 解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC，∠D=∠B，∠A=∠BCD，
由折疊可知，AD=CG，∠D=∠G，∠A=∠ECG，
∴BC=GC，∠B=∠G，∠BCD=∠ECG，
∴∠BCE=∠GCF，
在△BCE和△GCF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠G}&{\;}\\{∠BCE=∠GCF}&{\;}\\{BC=GC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△GCF（ASA），
∴CE=CF，
過E點作EP⊥BC于P，如圖所示：
∵∠B=60°，∠EPB=90°，
∴∠BEP=30°，
∴BE=2BP，
設(shè)BP=m，則BE=2m，
∴EP=BE•sin60°=2m×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$m，
由折疊可知，AE=CE，
∵AB=6，
∴AE=CE=6-2m，
∵BC=4，
∴PC=4-m，
在RT△ECP中，由勾股定理得（4-m）²+（$\sqrt{3}$m）²=（6-2m）²，
解得：m=$\frac{5}{4}$，
∴CE=6-2m=6-2×$\frac{5}{4}$=$\frac{7}{2}$，
∵△BCE≌△GCF，
∴CF=CE=$\frac{7}{2}$，
∴S_△CEF=$\frac{1}{2}$×$\frac{7}{2}$×2$\sqrt{3}$=$\frac{7\sqrt{3}}{2}$；
故答案為：$\frac{7\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，平行四邊形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理的應用，三角形面積等，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，由勾股定理得出方程是解決問題的關(guān)鍵．