Question

【題目】如圖，直線y＝x+c與x軸交于點A（﹣4，0），與y軸交于點C，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點A，C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）已知點P是拋物線上的一個動點，并且點P在第二象限內(nèi)，過動點P作PE⊥x軸于點E，交線段AC于點D．

①如圖1，過D作DF⊥y軸于點F，交拋物線于M，N兩點（點M位于點N的左側(cè)），連接EF，當線段EF的長度最短時，求點P，M，N的坐標；

②如圖2，連接CD，若以C，P，D為頂點的三角形與△ADE相似，求△CPD的面積．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣3x+4；（2）①點P坐標為（﹣2，6），點M、N的坐標分別為（，2）、（，2）；②△CPD的面積為或4．

【解析】

（1）將點A的坐標分別代入直線和拋物線表達式，即可求解；

（2）①四邊形DEOF為矩形，故：EF＝OD，當OD垂直于AC時，OD最小，點D為AC的中點，其坐標為（﹣2，2），即可求解；

②分△ADE∽△CDP、△ADE∽△PCD兩種情況，求解即可．

（1）將點A的坐標代入直線y＝x+c得：0＝﹣4+c，

解得：c＝4，

將點A坐標代入拋物線表達式得：0＝﹣16﹣4b+4，

解得：b＝﹣3，

故拋物線的表達式為：y＝﹣x2﹣3x+4，

故點A、C的坐標分別為（﹣4，0）、（0，4），

將A、C點坐標代入一次函數(shù)表達式y＝kx+b得：

，解得，

則直線AC的表達式為：y＝x+4；

（2）①∵四邊形DEOF為矩形，故：EF＝OD，

當OD垂直于AC時，OD最�。�即EF最小），

∵OA＝OC，

∴點D為AC的中點，其坐標為（﹣2，2），

故點P坐標為（﹣2，6），

把點D縱坐標代入二次函數(shù)表達式得：﹣x2﹣3x+4＝2，

解得：x＝，

故點M、N的坐標分別為（，2）、（，2）；

②當△ADE∽△CDP時，則∠CPD＝90°，PC＝PD，

則PC∥x軸，則點P的縱坐標為4，則點P坐標為（﹣3，4），

點D在直線AC：y＝x+4上，則點D坐標為（﹣3，1），

則PD＝4﹣1＝3＝PC，

則S△CPD＝×PCPD＝；

當△ADE∽△PDC時，

同理可得：S△CPD＝×PDCH＝4，

故：△CPD的面積為或4