Question

19．如圖，AB為⊙O的直徑，PQ切⊙O于T，AC⊥PQ于C，交⊙O于D．
（1）求證：AT平分∠BAC；
（2）若AO=2，AT=2$\sqrt{3}$，求AC的長．

Answer 1

分析 （1）連接OT，如圖，根據(jù)切線的性質得OT⊥PQ，加上AC⊥PQ，則可判斷OT∥AC，所以∠TAC=∠OTA，而∠OTA=∠OAT，所以∠TAC=∠OAT；
（2）連接BT，如圖，證明Rt△ABT∽Rt△ATC，然后利用相似比克計算出AC的長．

解答 （1）證明：連接OT，如圖，
∵PQ切⊙O于T，
∴OT⊥PQ，
∵AC⊥PQ，
∴OT∥AC，
∴∠TAC=∠OTA，
而OT=OA，
∴∠OTA=∠OAT，
∴∠TAC=∠OAT，
∴AT平分∠BAC；
（2）解：連接BT，如圖，
∵AB為直徑，
∴∠ATB=90°，
∵∠TAC=∠BAT，
∴Rt△ABT∽Rt△ATC，
∴$\frac{AT}{AC}$=$\frac{AB}{AT}$，即$\frac{2\sqrt{3}}{AC}$=$\frac{4}{2\sqrt{3}}$，
∴AC=3．

點評 本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑．運用切線的性質來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題．解決（2）小題的關鍵是構建△ABT與△ATC相似．