Question

16．如圖，A、B分別是x軸、y軸上的點(diǎn)，A（3，0）、B（0，4）；分別以O(shè)B、AB為邊作等邊△OBD、△ABD．
（1）求C點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求直線OC的解析式；
（3）求D點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）過(guò)點(diǎn)C作CE⊥x軸，垂足為E，由等邊三角形的性質(zhì)可求得∠COE=30°，在Rt△COE中可求得OE和CE，可求得C點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）設(shè)直線OC為y=kx，結(jié)合（1）所求C點(diǎn)的坐標(biāo)可求得直線OC的解析式；
（3）過(guò)D作DF⊥x軸，連接CD，證△ABO≌△DBC可得CD=OA=3、∠BCD=∠BOA=90°，延長(zhǎng)BC交DF于點(diǎn)P，則∠DCP=90°，作CG⊥OB于點(diǎn)G，延長(zhǎng)GC交DF于點(diǎn)H，根據(jù)等邊三角形性質(zhì)可得∠PCH=∠CDH=∠BCG=$\frac{1}{2}$∠BCO=30°，解Rt△CDH可得CH、DH的長(zhǎng)，最后結(jié)合點(diǎn)C坐標(biāo)即可得．

解答 解：（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥x軸，垂足為E，

∵B（0，4），
∴OB=4，
∵△OBC為等邊三角形，
∴OC=OB=4，∠BOC=60°，
∴∠COE=30°，
在Rt△COE中，CE=$\frac{1}{2}$OC=2，OE=$\sqrt{O{C}^{2}-C{E}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（2$\sqrt{3}$，2）；

（2）設(shè)直線OC解析式為y=kx，
把C點(diǎn)坐標(biāo)代入可得2=2$\sqrt{3}$k，k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴直線OC的解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x；

（3）如圖2，過(guò)D作DF⊥x軸，垂足為F，連接CD，

∵OA=3、OB=4，
∴在Rt△AOB中，由勾股定理可求得AB=5，
∵△OBC和△ABD均為等邊三角形，
∴OB=CB=4，AB=DB=5，∠OBC=∠ABD=60°，
∴∠OBA=∠CBD，
在△ABO和△DBC中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{OB=CB}\\{∠OBA=∠CBD}\\{AB=DB}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△DBC（SAS），
∴CD=OA=3，∠BCD=∠BOA=90°，
延長(zhǎng)BC交DF于點(diǎn)P，則∠DCP=90°，
作CG⊥OB于點(diǎn)G，延長(zhǎng)GC交DF于點(diǎn)H，
∴∠PHC=90°
∵△OBC為等邊三角形，
∴∠PCH=∠CDH=∠BCG=$\frac{1}{2}$∠BCO=30°，
∴CH=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{3}{2}$，DH=CDcos30°=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
又∵點(diǎn)C坐標(biāo)為（2$\sqrt{3}$，2），
∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（$\frac{4\sqrt{3}+3}{2}$，$\frac{4+3\sqrt{3}}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、等邊三角形性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)及解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，通過(guò)證明全等得出直角三角形及其斜邊長(zhǎng)度和內(nèi)角度數(shù)是關(guān)鍵．