【題目】如圖在平面直角坐標(biāo)系xoy中,直線y=2x+4與y軸交于A點(diǎn),與x軸交于B點(diǎn),拋物線C1:y=-xbx+c過(guò)A、B兩點(diǎn),與x軸另一交點(diǎn)為C。

(1)(3分)求拋物線解析式及C點(diǎn)坐標(biāo)。

(2)(4分)向右平移拋物線C1,使平移后的拋物線C2恰好經(jīng)過(guò)ABC的外心,拋物線C1、C2相交于點(diǎn)D,求四邊形AOCD的面積。

(3)(5分)已知拋物線C2的頂點(diǎn)為M,設(shè)P為拋物線C1對(duì)稱軸上一點(diǎn),Q為拋物線C1上一點(diǎn),是否存在以點(diǎn)M、Q、P、B為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形,若存在,直接寫出P點(diǎn)坐標(biāo),不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。

圖(1) 圖(2)

【答案】(1) y=- xx+4,C(8,0);(2);(3)存在,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,0)或(3,-)或(3,-25)).

【解析】

試題分析:(1)在y=2x+4中,令x=0,可得y=4,則點(diǎn)A的坐標(biāo)為A(0,4);令y=0,可得x=-2,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-2,0);因?yàn)閽佄锞C1:y=-x+bx+c過(guò)A、B兩點(diǎn),故將A(0,4),B(-2,0)代入y=-x+bx+c,聯(lián)立方程組,求解b,c的值即可求得拋物線解析式y(tǒng)=- xx+4,再令- xx+4=0,即可得C點(diǎn)坐標(biāo);(2)先證明ABC是直角三角形,得ABC的斜邊BC的中點(diǎn)為(3,0)即E點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0) ,由平移可得F點(diǎn)坐標(biāo)為F (13,0),從而得出拋物線C的解析式,再將C1、C聯(lián)立方程組解出x,y的值,最后根據(jù)S四邊形AOCD= S三角形AOD+S三角形 OCD即可得出四邊形AOCD的面積;(3)分情況討論可能的情形即可得出結(jié)論.

試題解析: ⑴∵直線y=2x+4與y軸交于A點(diǎn),與x軸交于B點(diǎn),

令x=0,可得y=4,則點(diǎn)A的坐標(biāo)為A(0,4);

令y=0,可得x=-2,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-2,0);

將A(0,4),B(-2,0)代入y=-x+bx+c,聯(lián)立方程組,

解得,b=, c=4

拋物線C解析式為: y=- xx+4

拋物線C1:y=-x+bx+c與x軸交于點(diǎn)C

令- xx+4=0,

解得,x=8

C點(diǎn)坐標(biāo)為C(8,0)

如圖,

由(1)知,C(8,0),A(0,4),B (-2,0)

AC2=AO2+OC2=42+82=80,

AB2= AO2+OB2=42+22=20,

又BC=BO+OC=8+2=10,BC2= 102=100

BC2= AC2+AB2,

∴△ABC是直角三角形.

ABC的斜邊BC的中點(diǎn)為(8+2)÷2=5

OE=5-OB=5-2=3

∴△ABC的斜邊BC的中點(diǎn)為(3,0)

拋物線C2恰好經(jīng)過(guò)ABC的外心,

E為ABC的外心,E點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0)

F點(diǎn)坐標(biāo)為(3+8+2,0),即F(13,0)

由E (3,0) ,F(xiàn)(13,0)得拋物線Cy= - (x-3 ) (x-13 )

即Cy= -x+4x-

聯(lián)立方程組

解得 x= y=

S四邊形AOCD= S三角形AOD+S三角形 OCD

×4××8×=

答:四邊形AOCD的面積為.

分情況討論如下:

BM為對(duì)角線時(shí),中點(diǎn)在直線x=3上,Q(3,

所以P(3,0)

當(dāng)四邊形PQBM為平行四邊形時(shí)PQMB, Q(-7,-),

所以P(3,-

當(dāng)四邊形PQMB為平行四邊形時(shí)PQBM,Q(13,-),

所以P(3,-25)

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