Question

【題目】在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，M是AD邊的中點，P是射線AB上的一個動點（不與A、B重合），MN⊥PM交射線BC于N點.

（1）如圖1，當點N與點C重合時，求：AP的長；

（2）如圖2，在點N的運動過程中，求證： 為定值；

（3）在射線AB上，是否存在點P，使得∽，若存在，求此時AP的長；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）AP的長為；

（2）證明見解析；

（3）當時， ∽

【解析】試題分析：（1）易證ΔAMP∽ΔDCM，得，從而可得：

（2）過作于，如圖，則，四邊形是矩形， ，可證∽，故可得

（3）分和兩種情況，利用ΔDCN∽ΔPMN求解即可.

解：（1）∵四邊形ABCD是矩形∴

∵

∴

∴∽

∴

∴，

(2)過作于，如圖2. ，四邊形是矩形，

∵，

∴

又∵ ∴∽

∴

(3）設(shè) （），則

所以

設(shè). ∵，

∴

∴

∴

分兩種情況：

（Ⅰ）當時，如圖：

∵∽

∴∴∴

解得： （不合舍去）

（Ⅱ）當時，如圖：

同理：

∴ ，

解得：

所以當時， ∽