Question

16．已知，如圖，在△ABC中，∠B=45°，∠BCA=30°，過(guò)點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)作⊙O，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，連接OA交BC于E．
（1）求證：OA∥CD；
（2）求證：△ABE∽△DCA；
（3）若OA=2，求BC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)OC，先利用圓周角定理得到∠AOC=2∠B=90°，再利用切線的性質(zhì)得∠OCD=90°，根據(jù)平行線的判定即可得到結(jié)論；
（2）先判斷△AOC為等腰直角三角形得到∠OCA=45°，則∠ACD=45°=∠B，再利用平行線的性質(zhì)得∠BAE=∠D，然后根據(jù)相似三角形的判定即可得到結(jié)論；
（3）作AH⊥BC于H，如圖，由△AOC為等腰直角三角形得到AC=$\sqrt{2}$OA=2$\sqrt{2}$，分別在Rt△ACH中和在Rt△ABH中利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系和等腰直角三角形的性質(zhì)計(jì)算出BH和CH，從而得到BC的長(zhǎng)．

解答 （1）證明：連結(jié)OC，如圖，
∵∠B=45°，
∴∠AOC=2∠B=90°，
∵CD為切線，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∴OA∥CD；
（2）證明：∵∠AOC=90°，OA=OC，
∴△AOC為等腰直角三角形，
∴∠OCA=45°，
∴∠ACD=45°，
∴∠B=∠ACD，
∵OA∥CD，
∴∠BAE=∠D，
∴△ABE∽△DCA；
（3）解：作AH⊥BC于H，如圖，
∵△AOC為等腰直角三角形，
∴AC=$\sqrt{2}$OA=2$\sqrt{2}$，
在Rt△ACH中，∵∠ACH=30°，
∴AH=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{2}$，CH=$\sqrt{3}$AH=$\sqrt{6}$，
在Rt△ABH中，∵∠B=45°，
∴BH=AH=$\sqrt{2}$，
∴BC=BH+CH=$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．運(yùn)用切線的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過(guò)作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問(wèn)題．解決（3）小題的關(guān)鍵是作AH⊥BC得到兩個(gè)特殊的直角三角形．