Question

5．1+2+3+…+100=？經(jīng)過(guò)研究，這個(gè)問(wèn)題的一般性結(jié)論是1+2+3+…+n=$\frac{1}{2}$n（n+1），其中n是正整數(shù)．
現(xiàn)在我們來(lái)研究一個(gè)類似的問(wèn)題：1×2+2×3+3×4+…n（n+1）=？
觀察下面三個(gè)特殊的等式
1×2=$\frac{1}{3}$（1×2×3-0×1×2）
2×3=$\frac{1}{3}$（2×3×4-1×2×3）
3×4=$\frac{1}{3}$（3×4×5-2×3×4）
將這三個(gè)等式的兩邊相加，可以得到1×2+2×3+3×4=$\frac{1}{3}×$3×4×5=20
讀完這段材料，請(qǐng)你思考后回答：
（1）直接寫(xiě)出下列各式的計(jì)算結(jié)果：
①1×2+2×3+3×4+…10×11=440
②1×2+2×3+3×4+…n（n+1）=$\frac{1}{3}$n（n+1）（n+2）
（2）探究并計(jì)算：
1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+n（n+1）（n+2）=$\frac{1}{4}$n（n+1）（n+2）（n+3）
（3）請(qǐng)利用（2）的探究結(jié)果，直接寫(xiě)出下式的計(jì)算結(jié)果：
1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+10×11×12=4290．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)閱讀材料的結(jié)論計(jì)算即可；
②根據(jù)閱讀材料的結(jié)論進(jìn)行總結(jié)；
（2）仿照（1）的計(jì)算方法進(jìn)行歸納即可；
（3）代入（2）總結(jié)的規(guī)律進(jìn)行計(jì)算即可．

解答 解：（1）①1×2+2×3+3×4+…10×11=$\frac{1}{3}$×10×11×12=440；
②1×2+2×3+3×4+…n（n+1）=$\frac{1}{3}$n（n+1）（n+2）；
（2）1×2×3=$\frac{1}{4}$（1×2×3×4-0×1×2×3）
2×3×4=$\frac{1}{4}$（2×3×4×5-1×2×3×4）
3×4×5=$\frac{1}{4}$（3×4×5×6-2×3×4×5）
則1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+n（n+1）（n+2）=$\frac{1}{4}$n（n+1）（n+2）（n+3）；
（3）1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+10×11×12=$\frac{1}{4}$×10×11×12×13=4290，
故答案為：（1）①440；②$\frac{1}{3}$n（n+1）（n+2）；（2）$\frac{1}{4}$n（n+1）（n+2）（n+3）；（3）4290．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算、規(guī)律型-數(shù)字的變化類，弄清題意，得出一般性的規(guī)律是解本題的關(guān)鍵．