Question

【題目】如圖，已知二次函數(shù)y=x2+bx﹣與x軸交于點(diǎn)A（﹣3，0）和點(diǎn)B，以AB為邊在x軸上方作正方形ABCD，點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接DP，過點(diǎn)P作DP的垂線與y軸交于點(diǎn)E．

（1）試求出二次函數(shù)的表達(dá)式和點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段AO（點(diǎn)P不與A、O重合）運(yùn)動(dòng)至何處時(shí)，線段OE的長有最大值，求出這個(gè)最大值；

（3）是否存在這樣的點(diǎn)P，使△PED是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及此時(shí)△PED與正方形ABCD重疊部分的面積；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1），B（1，0）；（2）；（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，0）時(shí)，此 時(shí)△PED與正方形ABCD重疊部分的面積為．

【解析】分析：（1）將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入二次函數(shù)的解析式求得其解析式，然后求得點(diǎn)B的坐標(biāo)即可求得正方形ABCD的邊長，從而求得點(diǎn)D的縱坐標(biāo).

（2）PA=t，OE=l，利用△DAP∽△POE得到比例式，從而得到有關(guān)兩個(gè)變量的二次函數(shù)，求最值即可.

（3）分點(diǎn)P位于y軸左側(cè)和右側(cè)兩種情況討論即可得到重疊部分的面積.

詳解：（1）將點(diǎn)A（﹣3，0）代入y=x2+bx﹣得﹣3b﹣=0，解得b=1，

∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y=x2+x﹣，

當(dāng)y=0時(shí)， x2+x﹣=0，解得x1=1，x2=﹣3，

∴B（1，0）；

（2）設(shè)PA=t（﹣3＜t＜0），則OP=3﹣t，如圖1，

∵DP⊥PE，

∴∠DPA=∠PEO，

∴△DAP∽△POE，

∴=，即=，

∴OE=﹣t2+t

=﹣（t﹣）2+，

∴當(dāng)t=時(shí)，OE有最大值，即P為AO中點(diǎn)時(shí)，OE的最大值為；

（3）存在．

當(dāng)點(diǎn)P在y軸左側(cè)時(shí)，如圖2，DE交AB于G點(diǎn)，

∵PD=PE，∠DPE=90°，

∴△DAP≌△POE，

∴PO=AD=4，

∴PA=1，OE=1，

∵AD∥OE，

∴==4，

∴AG=，

∴S△DAG=4=，

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣4，0），此時(shí)△PED與正方形ABCD重疊部分的面積為；

當(dāng)P點(diǎn)在y軸右側(cè)時(shí)，如圖3，DE交AB于G點(diǎn)，DP與BC相交于Q，

同理可得△DAP≌△POE，

∴PO=AD=4，

∴PA=7，OE=7，

∵AD∥OE，

∴==，

∴OG=，

同理可得BQ=

∴S四邊形DGBQ=×（+1）×4+×4×=

∴當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，0）時(shí)，此時(shí)△PED與正方形ABCD重疊部分的面積為．