【題目】如圖乙,△ABC 和△ADE 是有公共頂點(diǎn)的等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,點(diǎn)P為射線 BD,CE的交點(diǎn).

(1)如圖甲,將△ADE 繞點(diǎn)A 旋轉(zhuǎn),當(dāng) C、D、E 在同一條直線上時(shí),連接BD、BE,則下列給出的四個(gè)結(jié)論中,其中正確的是哪幾個(gè).(回答直接寫序號)

①BD=CE;②BD⊥CE;③∠ACE+∠DBC=45°;④BE2=2(AD2+AB2)

(2)若 AB=4,AD=2,把△ADE 繞點(diǎn) A 旋轉(zhuǎn),

①當(dāng)∠CAE=90°時(shí),求 PB 的長;

②直接寫出旋轉(zhuǎn)過程中線段 PB 長的最大值.

【答案】(1)①②③;(2)①PB=,②PB長的最小值是-2,最大值是+2.

【解析】

(1)①由條件證明△ABD≌△ACE,就可以得到結(jié)論②由△ABD≌△ACE就可以得出∠ABD=∠ACE,就可以得出∠BDC=90°,進(jìn)而得出結(jié)論;③由條件知∠ABC=∠ABD+∠DBC=45°,由∠ABD=∠ACE就可以得出結(jié)論;④△BDE為直角三角形就可以得出BE2=BD2+DE2,由△DAE和△BAC是等腰直角三角形就有DE2=2AD2,BC2=2AB2,就有BC2=BD2+CD2≠BD2就可以得出結(jié)論;

(2)①分兩種情形a、如圖乙-1中,當(dāng)點(diǎn)EAB上時(shí),BE=AB-AE=2.由△PEB∽△AEC,得=,由此即可解決問題.b、如圖乙-2中,當(dāng)點(diǎn)EBA延長線上時(shí),BE=6.解法類似;

②如圖乙-3中,以A為圓心AD為半徑畫圓,當(dāng)CE在⊙A上方與⊙A相切時(shí),PB的值最大.分別求出PB即可.

(1)①②③;

(2)①解:a、如圖2中,當(dāng)點(diǎn)E在AB上時(shí),BE=AB-AE=2.

∵∠EAC=90°,
∴CE=,
同(1)可證△ADB≌△AEC.
∴∠DBA=∠ECA.
∵∠PEB=∠AEC,
∴△PEB∽△AEC.

,
∴PB=
b、如圖3中,當(dāng)點(diǎn)E在BA延長線上時(shí),BE=6.

∵∠EAC=90°,
∴CE=,
同(1)可證△ADB≌△AEC.
∴∠DBA=∠ECA.
∵∠BEP=∠CEA,
∴△PEB∽△AEC,
,

∴PB=,
綜上,PB=
②解:a、如圖4中,以A為圓心AD為半徑畫圓,當(dāng)CE在⊙A下方與⊙A相切時(shí),PB的值最。

理由:此時(shí)∠BCE最小,因此PB最小,(△PBC是直角三角形,斜邊BC為定值,∠BCE最小,因此PB最。
∵AE⊥EC,
∴EC=
由(1)可知,△ABD≌△ACE,
∴∠ADB=∠AEC=90°,BD=CE=2
∴∠ADP=∠DAE=∠AEP=90°,
∴四邊形AEPD是矩形,
∴PD=AE=2,
∴PB=BD-PD=2-2.
b、如圖5中,以A為圓心AD為半徑畫圓,當(dāng)CE在⊙A上方與⊙A相切時(shí),PB的值最大.

理由:此時(shí)∠BCE最大,因此PB最大,(△PBC是直角三角形,斜邊BC為定值,∠BCE最大,因此PB最大)
∵AE⊥EC,
∴EC=,
由(1)可知,△ABD≌△ACE,
∴∠ADB=∠AEC=90°,BD=CE=,
∴∠ADP=∠DAE=∠AEP=90°,
∴四邊形AEPD是矩形,
∴PD=AE=2,
∴PB=BD+PD=+2.
綜上所述,PB長的最小值是-2,最大值是+2.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,并且關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,下列結(jié)論:

①b2﹣4ac<0;②abc>0;③a﹣b+c<0;④m>﹣2,

其中,正確的個(gè)數(shù)有(  )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

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1)用含a的代數(shù)式表示第一批茶葉的毛利潤;

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(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo);

(2)請從A,B兩題中任選一題作答.

A.求COM的面積S與時(shí)間t之間的函數(shù)表達(dá)式;

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Ⅰ)扇形 ①的圓心角的大小是   ;

Ⅱ)求這40個(gè)樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù);

Ⅲ)若該校九年級共有320名學(xué)生,估計(jì)該校理化實(shí)驗(yàn)操作得滿分(10分)有多少人.

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