Question

【題目】已知：△ABC中，AB=AC，∠B=α．
（1）如圖1，點D，E分別在邊AB，AC上，線段DE的垂直平分線MN交直線BC于點M，交DE于點N，求證：BD+CE=BC．需補(bǔ)充條件∠EMN= （用含α的式子表示）補(bǔ)充條件后并證明；

（2）把（1）中的條件改為點D，E分別在邊BA、AC延長線上，線段DE的垂直平分線MN交直線BC于點M，交DE于點N（如圖2），并補(bǔ)充條件∠EMN=（用含α的式子表示），通過觀察或測量，猜想線段BD，CE與BC之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并予以證明．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)∠EMN= α?xí)r，BD+CE=BC．
理由：如圖1所示：連接DM．

∵AB=AC，
∴∠B=∠C=α．
∵M(jìn)N是DE的垂直平分線，
∴DN=NE，DM=EM．
在△MND和△MNE中，
，
∴△MND≌△MNE．
∴∠DMN=∠EMN= α．
∴∠DME=α．
∵∠C+∠CEM=∠DMB+∠DME，∠C=∠DME=α，
∴∠DMB=∠CEM．
在△BDM和△CME中，
，
∴△BDM≌△CME．
∴BD=MC，EC=BM．
又∵M(jìn)B+MC=BC，
∴BD+EC=BC．
（2）解：當(dāng)∠EMN= α?xí)r，BD=CE+BC．

∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB．
∴∠DBM=∠MCE．
∵M(jìn)N是DE的垂直平分線，
∴DN=NE，DM=EM．
在△MND和△MNE中，
，
∴△MND≌△MNE．
∴∠DMN=∠EMN= α．
∴∠EMD=∠B=α
∵∠BMD+∠MDB=α，∠EMC+∠CMD=α，
∴∠EMC=∠MDB．
在△BDM和△CME中，
，
∴△BDM≌△CME．
∴BD=MC，EC=BM．
又∵M(jìn)B+BC=MC，
∴EC+BC=BD
【解析】（1）當(dāng)∠EMN= α?xí)r，BD+CE=BC．連接DM．先證明∠DME=α．接下來證明∠DMB=∠CEM．然后依據(jù)AAS可證明△BDM≌△CME，然后由全等三角形的性質(zhì)可證得BD=MC，EC=BM，結(jié)合條件MB+MC=BC，可證得問題的結(jié)論；（2）當(dāng)∠EMN= α?xí)r，BD=CE+BC．先證明∠DMN=∠EMN= α．從而得到∠EMD=∠B=α，接下來，依據(jù)等角的補(bǔ)角相等可證得∠DBM=∠MCE，然后依據(jù)三角形的外角的性質(zhì)和角的和差關(guān)系證明∠MDB=∠EMC，然后依據(jù)AAS可證明△BDM≌△CME，由全等三角形的性質(zhì)可得到BD=MC，EC=BM，結(jié)合MB+BC=MC可證得EC+BC=BD．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解線段垂直平分線的性質(zhì)的相關(guān)知識，掌握垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線；線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等．