Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，直線BC與x軸、y軸分別交于B、C兩點，直線AD與x軸，y軸分別交于A、D兩點，其中A（﹣3，0）、B（4，0），C（0，4）并且AD⊥BC于點E

（1）求點D的坐標；

（2）點P從點A出發(fā)沿x軸正方向勻速運動，運動速度為每秒2個單位的長度，過點P作PM⊥x軸分別交直線AD、BC于點M、N，設點P的運動時間為t（秒），MN=m（m＞0），請用含t的式子表示m，并說明理由（并直接寫出t的取值范圍）；

（3）在（2）的條件下，EK⊥x軸于點K，連接MK，作KQ⊥MK交直線BC于點Q，當S△KQB=時，求此時的P值及點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）（0，3）（2）答案見解析（3）p=﹣2， M（﹣2，1），

【解析】

試題分析：（1）設直線BC解析式為y=kx+b，把B與C坐標代入求出k與b的值，確定出直線BC解析式，由直線AE與直線BC垂直，以及A的坐標確定出直線AE解析式，即可求出D的坐標；

（2）聯(lián)立直線AE與直線BC解析式，求出E坐標，確定出AK的長，分三種情況考慮：當0＜t≤時；當＜t≤時；當＜t≤時，分別用t表示出m即可；

（3）如圖2和圖3所示，根據(jù)三角形BKQ的面積及KB的長，求出Q的縱坐標，進而求出橫坐標，確定出Q坐標，分別設出P坐標，表示出M坐標，由MK與KQ垂直求出M坐標，進而求出P的坐標以及此時t的值即可．

解：（1）設直線BC解析式為y=kx+b，

把B（4，0），C（0，4）代入得：，

解得：，

故直線BC解析式為y=﹣x+4，

由直線AE⊥直線BC，得到直線AE解析式為y=x+a，

把A（﹣3，0）代入得：0=﹣3+a，即a=3，

故直線AE解析式為y=x+3，

令x=0，得到y(tǒng)=3，即D（0，3）；

（2）過C作CK⊥x軸，如圖2所示，

聯(lián)立得：，

解得：，即E（，），

∴AK=OA+OK=3，

分三種情況考慮：

當0＜t≤時，由題意得：P（2t﹣3，0）

把x=2t﹣3代入直線AE解析式得：PM=y=2t，把x=2t﹣3代入直線BC解析式得：PN=y=7﹣2t，

此時m=MN=PN﹣PM=7﹣2t﹣2t=7﹣4t；

當＜t≤時，由題意得：OP=AP﹣AO=2t﹣3，

把x=2t﹣3代入直線AE解析式得：PM=y=2t，把x=2t﹣3代入直線BC解析式得：PN=7﹣2t，

此時m=MN=PN﹣PM=7﹣2t﹣2t=7﹣4t；

當＜t≤時，由題意得：OP=AP﹣AO=2t﹣3，

把x=2t﹣3代入直線AE解析式得：PM=y=2t，把x=2t﹣3代入直線BC解析式得：PN=7﹣2t，

此時m=MN=PM﹣PN=2t﹣7+2t=4t﹣7；

（3）由（2）得：OK=，KB=OB﹣OK=4﹣=，

∵S△KQB=×KB×|yQ縱坐標|=××|yQ縱坐標|=，

∴|yQ縱坐標|=，

當yQ縱坐標=時，如圖2所示，把y=代入直線BC解析式得：x=，即此時Q（，）；

設此時P（p，0），把x=p代入直線AE解析式得：PM=y=p+3，即M（p，p+3），

∵MK⊥KQ，K（，0），

∴kMK×kKQ=﹣1，即×=﹣1，

解得：p=﹣2，此時P（﹣2，0），M（﹣2，1），t=0.5；

當yQ縱坐標=﹣時，如圖3所示，把y=﹣代入直線BC解析式得：x=，即此時Q（，﹣）；

設此時P（m，0），把x=m代入直線AE解析式得：PM=y=m+3，即M（m，m+3），

∵MK⊥KQ，K（，0），

∴kMK×kKQ=﹣1，即×=﹣1，

解得：m=3．

此時P（3，0），M（3，6），t=3．