Question

如圖，直線y=-

4

3

x+4與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A、C和點(diǎn)B（-1，0）．
（1）求該二次函數(shù)的關(guān)系式；
（2）設(shè)該二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)為M，求四邊形AOCM的面積；
（3）有兩動點(diǎn)D、E同時從點(diǎn)O出發(fā)，其中點(diǎn)D以每秒

3

2

個單位長度的速度沿折線OAC按O?A?C的路線運(yùn)動，點(diǎn)E以每秒4個單位長度的速度沿折線OCA按O?C?A的路線運(yùn)動，當(dāng)D、E兩點(diǎn)相遇時，它們都停止運(yùn)動．設(shè)D、E同時從點(diǎn)O出發(fā)t秒時，△ODE的面積為S．
①請問D、E兩點(diǎn)在運(yùn)動過程中，是否存在DE∥OC，若存在，請求出此時t的值；若不存在，請說明理由；
②請求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍；
③設(shè)S₀是②中函數(shù)S的最大值，那么S₀=______．

Answer 1

（1）令y=0，則x=3，
∴A（3，0），C（0，4），
∵二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)C（0，4），
∴可設(shè)二次函數(shù)的關(guān)系式為y=ax²+bx+4．
又∵該函數(shù)圖象過點(diǎn)A（3，0），B（-1，0），
∴

0=9a+3b+4 0=a-b+4

，
解得a=-

4

3

，b=

8

3

．
∴所求二次函數(shù)的關(guān)系式為y=-

4

3

x²+

8

3

x+4．

（2）∵y=-

4

3

x²+

8

3

x+4
=-

4

3

（x-1）²+

16

3

∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，

16

3

）
過點(diǎn)M作MF⊥x軸于F
∴S_{四邊形AOCM}=S_△AFM+S_梯形FOCM
=

1

2

×（3-1）×

16

3

+

1

2

×（4+

16

3

）×1
=10
∴四邊形AOCM的面積為10．

（3）①不存在DE∥OC
∵若DE∥OC，則點(diǎn)D，E應(yīng)分別在線段OA，CA上，此時1＜t＜2，在Rt△AOC中，AC=5．
設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x₁，y₁）
∴

|x1|

3

=

4t-4

5

，
∴|x1|=

12t-12

5

∵DE∥OC，
∴

12t-12

5

=

3

2

t
∴t=

8

3

∵t=

8

3

＞2，不滿足1＜t＜2．
∴不存在DE∥OC．
②根據(jù)題意得D，E兩點(diǎn)相遇的時間為

3+4+5

3 2 +4

=

24

11

（秒）
現(xiàn)分情況討論如下：
（�。┊�(dāng)0＜t≤1時，S=

1

2

×

3

2

t•4t=3t²；
（ⅱ）當(dāng)1＜t≤2時，設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x₂，y₂）
∴

|y2|

4

=

5-(4t-4)

5

，
∴|y2|=

36-16t

5

∴S=

1

2

×

3

2

t×

36-16t

5

=-

12

5

t²+

27

5

t；
（ⅲ）當(dāng)2＜t＜

24

11

時，
設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x₃，y₃），類似ⅱ可得|y3|=

36-16t

5

設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x₄，y₄）
∴

|y4|

4

=

3 2 t-3

5

，
∴|y4|=

6t-12

5

∴S=S_△AOE-S_△AOD
=

1

2

×3×

36-16t

5

-

1

2

×3×

6t-12

5

=-

33

5

t+

72

5

．
③當(dāng)0＜t≤1時，S=

1

2

×

3

2

t•4t=3t²，函數(shù)的最大值是3；
當(dāng)1＜t≤2時，S=-

12

5

t²+

27

5

t．函數(shù)的最大值是：

243

80

，
當(dāng)2＜t＜

24

11

時，S=-

33

5

t+

72

5

，0＜S＜

6

5

．
∴S₀=

243

80

．