如圖，正方形ABCD的邊長為1，當(dāng)點(diǎn)E在邊BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)（不與正方形的頂點(diǎn)重合），連接AE，過點(diǎn)E作EF⊥AE交CD于點(diǎn)F．設(shè)BE=x，CF=y，求下列問題：
（1）證明△ABE∽△ECF；
（2）求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）試求當(dāng)x取何值時(shí)？y有最大或最小值，是多少？
（1）證明：∵正方形ABCD，
∴∠B=∠C，∠BAE+∠BEA=90°，
∵EF⊥AE，
∴∠BEA+∠CEF=90°，
∴∠BAE=∠CEF，
∴△ABE∽△ECF．

（2）∵△ABE∽△ECF，
∴
AB
CE
=
BE
CF

∵BE=x，CF=y，正方形ABCD的邊長為1，
則CE=1-x，
∴
1
1-x
=
x
y
，
∴y=-x2+x．

（3）由（2）得y=-x2+x，
∴y=-(x-
1
2
)2+
1
4
，
∴可知拋物線的頂點(diǎn)為（
1
2
，
1
4
），開口向下，
∴x=
1
2
時(shí)，y最大=
1
4
．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

“假日旅樂園”中一種新型水上滑梯如圖，其中線段PA表示距離水面（x軸）高度為5m的平臺（點(diǎn)P在y軸上）．滑道AB可以看作反比例函數(shù)圖象的一部分，滑道BCD可以看作是二次函數(shù)圖象的一部分，兩滑道的連接點(diǎn)B為拋物線BCD的頂點(diǎn)，且點(diǎn)B到水面的距離BE=2m，點(diǎn)B到y(tǒng)軸的距離是5m．當(dāng)小明從上而下滑到點(diǎn)C時(shí)，與水面的距離CG=
3
2
m，與點(diǎn)B的水平距離CF=2m．
（1）求反比例函數(shù)的解析式及其自變量的取值范圍．
（2）求二次函數(shù)的解析式及其自變量的取值范圍．
（3）小明從點(diǎn)B滑水面上點(diǎn)D處時(shí)，試求他所滑過的水平距離d．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線經(jīng)過A（-1，0），B（0，-2），C（1，-2），且與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為E．
（1）求拋物線的解析式；
（2）用配方法求拋物線的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)和對稱軸；
（3）求四邊形ABDE的面積．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（0，4）、B（2，4），它的最高點(diǎn)縱坐標(biāo)為
14
3
，點(diǎn)P是第一象限拋物線上一點(diǎn)且PA=PO，過點(diǎn)P的直線分別交射線AB、x正半軸于C、D．設(shè)AC=m，OD=n．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）求點(diǎn)P的坐標(biāo)及n關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式；
（3）連接OC交AP于點(diǎn)E，如果以A、C、E為頂點(diǎn)的三角形與△ODP相似，求m的值．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

若拋物線y=x2-（2m+4）+m2-10與x軸交于A（x1，0），B（x2，0）．頂點(diǎn)為C．
（1）求m的范圍；
（2）若AB=2
2
，求拋物線的解析式；
（3）若△ABC為等邊三角形，求m的值．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知二次函數(shù)y=ax2-bx-c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)x=1，二次函數(shù)取得最大值4，且|OA|=-
1
n
+2，
（1）求二次函數(shù)的解析式．
（2）已知點(diǎn)P在二次函數(shù)的圖象上，且有S△PAB=8，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知拋物線y=ax2+bx經(jīng)過圓點(diǎn)O和x軸上的另一點(diǎn)A，它的對稱軸x=2與x軸交于點(diǎn)C，直線y=-2x-1與拋物線y=a2+bx交于點(diǎn)B（-2，m），且y軸、直線x=2分別交于點(diǎn)D、E．
（1）求m的值及該拋物線對應(yīng)的函數(shù)解析式；
（2）試判斷△ECB的形狀，并說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，直線y=-
4
3
x+4與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A、C和點(diǎn)B（-1，0）．
（1）求該二次函數(shù)的關(guān)系式；
（2）設(shè)該二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)為M，求四邊形AOCM的面積；
（3）有兩動(dòng)點(diǎn)D、E同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā)，其中點(diǎn)D以每秒
3
2
個(gè)單位長度的速度沿折線OAC按O?A?C的路線運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E以每秒4個(gè)單位長度的速度沿折線OCA按O?C?A的路線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)D、E兩點(diǎn)相遇時(shí)，它們都停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)D、E同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā)t秒時(shí)，△ODE的面積為S．
①請問D、E兩點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在DE∥OC，若存在，請求出此時(shí)t的值；若不存在，請說明理由；
②請求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍；
③設(shè)S0是②中函數(shù)S的最大值，那么S0=______．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，當(dāng)x=2時(shí)，拋物線y=ax2+bx+c取得最小值-1，并且與y軸交于點(diǎn)C（0，3），與x軸交于點(diǎn)A，B（A在B的右邊）．
（1）求拋物線的解析式．
（2）D是線段AC的中點(diǎn)，E為線段AC上的一動(dòng)點(diǎn)（不與A，C重合），過點(diǎn)E作y軸的平行線EF與拋物線交于點(diǎn)F．問：是否存在△DEF與△AOC相似？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)P，使得△APD為等腰三角形？若存在，請直接寫出點(diǎn)p的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

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同步練習(xí)冊答案