Question

已知：如圖1，拋物線y=ax²+bx+3交x軸于A（-1，0），B（3，0）兩點，交y軸于點C，點D為拋物線的頂點，連接AC，BC．
（1）求拋物線的解析式；
（2）連接BD，動點P以每秒

2

個單位從點C出發(fā)沿CB向終點B運(yùn)動，過點P作BC的垂線交直線BD于點E，過點E做y軸的平行線交BC于點F，設(shè)EF的長為d，點P運(yùn)動的時間為t秒，求d與t的函數(shù)關(guān)系式（并直接寫出變量t的取值范圍）；
（3）在（2）的條件下，直線PE交直線AC于Q，交第一象限內(nèi)的拋物線于點M，過點M作x軸的平行線與射線AC交于點G，交y軸于點H，當(dāng)AQ=GQ時，求點M坐標(biāo)．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)拋物線經(jīng)過A，B兩點，即可求得a，b的值，即可解題；
（2）易求得直線BC解析式，根據(jù)CP的值可求得直線PE的解析式，即可求得直線BD解析式，即可求得點E，F(xiàn)的坐標(biāo)，即可解題；
（3）作出圖形，易求得點Q和點K坐標(biāo)，即可求得點M坐標(biāo)，根據(jù)點M是拋物線上點即可求得t的值，即可解題．

解答：解：（1）∵拋物線經(jīng)過A（-1，0），B（3，0）兩點，
∴

a-b+3=0 9a+3b+3=0

，
解得：a=-1，b=2，
∴拋物線解析式為y=-x²+2x+3；，
（2）作出圖形，如圖1，

∵x=0是，y=3，
∴直線BC解析式為y=-x+3，
∵CP=

2

t，
∴直線PE解析式為y=x+3-2t，
∵直線BD經(jīng)過B，D點，
∴直線BD解析式為y=-2x+6，
∵點E是直線BD，PE交點，
∴點E坐標(biāo)為（

4t+3

5

，-

6

5

t+

18

5

），
∴F點坐標(biāo)為（

4t+3

5

，-

4

5

t+

12

5

），
∴d=-

2

5

t+

6

5

（0≤y≤3）；
（3）作出圖形，如圖2，

∵直線PE，AC交于點Q，∴Q點坐標(biāo)為（-t，3t+3），
當(dāng)y=0時，x=2t-3，∴K點坐標(biāo)為（2t-3，0），
∵AQ=GQ，∴點G縱坐標(biāo)為-6t+6，
∵點M是直線PE上的點，
∴點M坐標(biāo)為（-4t+3，-6t+6），
∵點M是拋物線上點，
∴-6t+6=-（-4t+3）²+2（-4t+3）+3，
解得：t=

3

8

或t=1（不符合題意舍去），
∴點M坐標(biāo)為（

3

2

，

15

4

）．

點評：本題考查了二次函數(shù)解析式的求解，考查了二次函數(shù)與坐標(biāo)軸和直線交點的求解，考查了一元二次方程的求解，本題中正確求得二次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．