Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在y軸正半軸上，點(diǎn)B在x軸負(fù)半軸上，點(diǎn)C在x軸正半軸上，且AB=AC，OA=BC，點(diǎn)D是線段OA上一點(diǎn)，且OD=

1

4

OA，過點(diǎn)D作x軸的平行線交線段AB于點(diǎn)E，△ABC的面積為8．

（1）求AB所在直線的解析式以及線段DE的長(zhǎng)；
（2）點(diǎn)P是線段OB上一點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)O、B重合），過點(diǎn)P作PQ∥AB交y軸于點(diǎn)Q，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，0），線段DQ長(zhǎng)為y（y＞0），求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量t的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，M是射線DE上一點(diǎn)，是否存在t值，使△PMQ是以PQ為直角邊的等腰三角形？若存在請(qǐng)求出t值及點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)三角形的面積，可得OA、BC的長(zhǎng)，可得A點(diǎn)B點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)值，可得相應(yīng)自變量的值；
（2）分類討論：①當(dāng)-2＜t＜-

1

2

時(shí)，②當(dāng)-

1

2

≤t＜0，根據(jù)平行線的斜率相等，可得PQ的函數(shù)解析式，根據(jù)自變量的值，可得Q點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)PQ的距離，可得函數(shù)解析式；
（3）根據(jù)等腰直角三角形，可得PQ與PM的關(guān)系，根據(jù)PQ⊥PM，可得兩條直線的斜率的乘積為-1，再根據(jù)PQ=PM，可的方程組，根據(jù)解方程組，可得d答案．

解答：解：（1）由OA=BC，△ABC的面積為8，得
S△ABC=

1

2

OA•BC=8．
解得OA=BC=4．即A（0，4）
由AB=AC，OA⊥BO，得
OB=2，即B（-2，0），
設(shè)AB所在直線的解析式為y=kx+b，圖象過點(diǎn)A、B，得

b=4 -2k+b=0

，解得

b=4 k=2

．
AB所在直線的解析式為y=2x+4，
由OD=

1

4

OA=1，即D（0，1）．
由DE∥x，得E點(diǎn)縱坐標(biāo)為1，
當(dāng)y=1時(shí)，2x+4=1，解得x=-

3

2

，
E（-

3

2

，1）．
DE的長(zhǎng)為0-（-

3

2

）=

3

2

；
（2）如圖1：
①當(dāng)-2＜t＜-

1

2

時(shí)，由PQ∥AB，設(shè)PQ的函數(shù)解析式為y=2x+b，
y=0時(shí)，2t+b=0，解得b=-2t即Q（0，-2t）．
QD的長(zhǎng)y=-2t-1；
②當(dāng)-

1

2

≤t＜0時(shí)，如圖：，
由PQ∥AB，設(shè)PQ的函數(shù)解析式為y=2x+b，
y=0時(shí)，2t+b=0，解得b=-2t即Q（0，-2t）．
QD的長(zhǎng)y=2t+1；
綜上所述：y=

-2t-1(-2＜t＜- 1 2 ) 2t+1(- 1 2 ≤t＜0)

；
（3）如圖3：，
設(shè)Q（a，1），由（2）得P（t，0），Q（0，-2t）．
由△PMQ是以PQ為直角邊的等腰三角形，得QP=PM，QP⊥PM．
k_MP•k_PQ=-1．得k_MP=

1

a-t

×2=-1．t-a=2①．
QP²=MQ²即（-2t）²+t²=（a-t）²+1²   ②．
聯(lián)立①②得

t-a=2 4t2+t2=a2-2at+t2+1

，
化簡(jiǎn)，得

t=a+2① a2-2at+1-4t2=0②

，
把①代入②得5t²=5，解得t=1（不符合題意的要舍去），t=-1，
把t=-1代入①得a=-1-2=-3，
即M（-3，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)綜合題，（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，（2）利用平行線的k值相等得出PQ函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵，再分類討論得出函數(shù)y與t的解析式，（3）利用垂線的k值的乘積為-1，等腰三角形的定義，得出方程組是解題關(guān)鍵．