Question

已知拋物線C₁：y=x²-（2m+4）x+m²-10的頂點(diǎn)A到y(tǒng)軸的距離為3，與x軸交于C、D兩點(diǎn)．
（1）求頂點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)B在拋物線C₁上，且S△BCD=6

2

，求點(diǎn)B的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）把拋物線一般表達(dá)式寫成頂點(diǎn)式，知道頂點(diǎn)A到y(tǒng)軸的距離，進(jìn)而求出m的值，寫出拋物線頂點(diǎn)式表達(dá)式，求出坐標(biāo)．（2）由拋物線C₁的解析式為y=（x-3）²-18，解得C、D兩點(diǎn)坐標(biāo)，求出CD的值，由B點(diǎn)在拋物線C₁上，S△BCD=6

2

，求出B點(diǎn)縱坐標(biāo)，把縱坐標(biāo)代入拋物線解出橫坐標(biāo)．

解答：解：（1）y=x²-（2m+4）x+m²-10
=[x-（m+2）]²+m²-10-（m+2）²
=[x-（m+2）]²-4m-14
∴拋物線頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m+2，-4m-14）
由于頂點(diǎn)A到y(tǒng)軸的距離為3，
∴|m+2|=3
∴m=1或m=-5
∵拋物線與x軸交于C、D兩點(diǎn)，
∴m=-5舍去．
∴m=1，
∴拋物線頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，-18）．

（2）∵拋物線C₁的解析式為y=（x-3）²-18，
∴拋物線C₁與x軸交C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)為（3+3

2

，0），（3-3

2

，0），
∴CD=6

2

，
∵B點(diǎn)在拋物線C₁上，S△BCD=6

2

，設(shè)B（x_B，y_B），則y_B=±2，
把y_B=2代入到拋物線C₁的解析式為y=（x-3）²-18，
解得xB=2

5

+3或xB=-2

5

+3，
把y_B=-2代入到拋物線C₁的解析式為y=（x-3）²-18，
解得x_B=-1或x_B=7，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（2

5

+3，2），（-2

5

+3，2），（-1，-2），（7，-2）

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用題，考查拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，會(huì)求解拋物線上的點(diǎn)的坐標(biāo)．此題不是很難，但做題時(shí)也要小心仔細(xì)．