【題目】已知在菱形ABCD中,∠ABC=60°,M、N分別是邊BC,CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),∠MAN=60°,AM、AN分別交BD于E、F兩點(diǎn).
(1)如圖1,求證:CM+CN=BC;
(2)如圖2,過(guò)點(diǎn)E作EG∥AN交DC延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,求證:EG=EA;
(3)如圖3,若AB=1,∠AED=45°,直接寫出EF的長(zhǎng).
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)證明見(jiàn)解析;(3)
【解析】
(1)如圖1中,在AC上截取CG,使得CG=CM.首先證明△BAM≌△CAN,推出AM=AN,△AMN是等邊三角形,再證明△AMG≌△NMC即可解決問(wèn)題;(2)如圖2中,想辦法證明AE=EC,EC=EG即可解決問(wèn)題;(3)如圖3中,將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△ADQ,首先證明△FQD是特殊直角三角形,設(shè)DQ=x,構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題;
(1)證明:如圖1中,在AC上截取CG,使得CG=CM.
∵四邊形ABCD是菱形,∠ABC=60°,
∴△ABC,△ACD都是等邊三角形,
∴∠BAC=∠MAN=60°,
∴∠BAM=∠CAN,
∵AB=AC,∠B=∠ACN=60°,
∴△BAM≌△CAN,
∴AM=AN,
∵∠MAN=60°,
∴△AMN是等邊三角形,
∵CM=CG,∠MCG=60°,
∴△CMG是等邊三角形,
∴MA=MN,MG=MC,
∵∠AMN=∠GMC=60°,
∴∠AMG=∠NMC,
∴△AMG≌△NMC,
∴AG=CN,
∴BC=AC=CG+AG=CM+CN,
即BC=CM+CN.
(2)證明:如圖2中,連接EC.
∵BA=BC,∠ABE=∠CBE,BE=BE,
∴△ABE≌△CBE,
∴AE=EC,∠BAE=∠BCE,
∵EG∥AN,
∴∠G=∠AND,
∵∠AND=∠CAN+∠ACN=60°+∠CAN,∠ECG=60°+∠ECB,
∵∠ECB=∠BAE=∠CAN,
∴∠ECG=∠AND=∠G,
∴EC=EG,
∴EA=EG.
(3)解:如圖3中,將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△ADQ,
易證△AFE≌△AFQ,
∴∠AEF=∠AQF=45°,
∵∠AEB=∠AQD=135°,
∴∠FQD=90°,
∵∠QDF=∠ADQ+∠ADF=60°,設(shè)DQ=BE=x,則DF=2x,EF=FQ=x,
∵AB=AD=1,∠ABD=30°,
∴BD=,
∴x+2x+x=,
∴x=,
∴EF=x=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,△ABC為等邊三角形,AQ=PQ,PR⊥AB于點(diǎn)R,PS⊥AC于點(diǎn)S,PR=PS,有下列四個(gè)結(jié)論:①點(diǎn)P在∠BAC的平分線上;②AS=AR;③QP∥AB;④△BRP≌△CSP.其中,正確的有__________(填序號(hào)即可).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某商場(chǎng)將進(jìn)價(jià)為2000元的冰箱以2400元售出,平均每天能售出8臺(tái),為了配合國(guó)家“家電下鄉(xiāng)”政策的實(shí)施,商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施.調(diào)查表明:這種冰箱的售價(jià)每降低50元,平均每天就能多售出4臺(tái).
(1)假設(shè)每臺(tái)冰箱降價(jià)x元,商場(chǎng)每天銷售這種冰箱的利潤(rùn)是y元,請(qǐng)寫出y與x之間的函數(shù)表達(dá)式;(不要求寫自變量的取值范圍)
(2)商場(chǎng)要想在這種冰箱銷售中每天盈利4800元,同時(shí)又要使百姓得到實(shí)惠,每臺(tái)冰箱應(yīng)降價(jià)多少元?
(3)每臺(tái)冰箱降價(jià)多少元時(shí),商場(chǎng)每天銷售這種冰箱的利潤(rùn)最高?最高利潤(rùn)是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=1,將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至△A′B′C,點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′恰好落在AB上,求BB′的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的一部分,其對(duì)稱軸是x=﹣1,且過(guò)點(diǎn)(﹣3,0),下列說(shuō)法:①abc<0;②2a﹣b=0;③4a+2b+c<0;④若(﹣5,y1),( ,y2)是拋物線上兩點(diǎn),則y1<y2 , 其中說(shuō)法正確的是( )
A.①②
B.②③
C.①②④
D.②③④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知矩形ABCD,把△BCD沿BD翻折,得△BDG,BG,AD所在的直線交于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)D作DF∥BE交BC所在直線于點(diǎn)F.
(1)如圖1,AB<AD,
①求證:四邊形BEDF是菱形;
②若AB=4,AD=8,求四邊形BEDF的面積;
(2)如圖2,若AB=8,AD=4,請(qǐng)按要求畫出圖形,并直接寫出四邊形BEDF的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,∠BOC=9°,點(diǎn)A在OB上,且OA=1,按下列要求畫圖:
以A為圓心,1為半徑向右畫弧交OC于點(diǎn)A1,得第1條線段AA1;再以A1為圓心,1為半徑向右畫弧交OB于點(diǎn)A2,得第2條線段A1A2;再以A2為圓心,1為半徑向右畫弧交OC于點(diǎn)A3,得第3條線段A2A3;…這樣畫下去,直到得第n條線段,之后就不能再畫出符合要求的線段了,則n=______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】根據(jù)下列語(yǔ)句,設(shè)適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù),列出二元一次方程:
甲數(shù)比乙數(shù)的倍少;
甲數(shù)的倍與乙數(shù)的倍的和是;
甲數(shù)的與乙數(shù)的的差是;
甲數(shù)與乙數(shù)的和的倍比乙數(shù)與甲數(shù)差的多.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,∠B=∠D,BC=DC,要判定△ABC≌△EDC,當(dāng)添加條件_________時(shí),可根據(jù)“ASA”判定;當(dāng)添加條件_____時(shí),可根據(jù)“AAS”判定;當(dāng)添加條件________時(shí),可根據(jù)“SAS”判定.
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