Question

已知拋物線過點(diǎn)P（1，-2），Q（-1，2）且與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸交于C點(diǎn)連AC、BC．
（1）求a與c的關(guān)系式；
（2）若

1

OA

+

1

OB

=

4

OC

（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求拋物線解析式；
（3）是否存在滿足條件tan∠CAB•tan∠BCO=1的拋物線？若存在請(qǐng)求出拋物線的解析式；若不存在請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）將P、Q的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，將b消去即可得出a，c的關(guān)系式．
（2）本題可先將所給的等式進(jìn)行適當(dāng)變形，然后設(shè)出A、B的橫坐標(biāo)，用根與系數(shù)的關(guān)系求出待定系數(shù)的值，即可求出拋物線的解析式．
（3）根據(jù)tan∠CAB•tan∠BCO=1，此時(shí)OA=OB，那么拋物線關(guān)于y軸對(duì)稱，此時(shí)對(duì)稱軸x=0，據(jù)此可求出拋物線的解析式．

解答：解：（1）設(shè)拋物線為：y=ax²+bx+c，將P、Q的坐標(biāo)代入拋物線的解析式可得：

a+b+c=-2 a-b+c=2

，解得b=-2，a=-c．
（2）由（1）知y=ax²-2x-a，設(shè)A（x₁，0），B（x₂，0）．
令y=0，ax²-2x-a=0；
x₁+x₂=

2

a

，x₁x₂=-1，
∴A在x負(fù)半軸上，B在x正半軸上
∴OA=-x₁，OB=x₂
 

1

OA

+

1

OB

=

OB+OA

OB•OA

=

x2-x1

-x2•x1

=

(x2+x1)2-4x1•x2

=

4a2+4

|a|

∴

4

OC

=

4

|a|

=

4a2+4

|a|

，
∴4=

4a2+4

，
即a²=3，
∴a=±

3

，
∴拋物線的解析式為y=

3

x²-2x-

3

或y=-

3

x²-2x+

3

．
（3）∵tan∠CAB•tan∠BCO=1，
∴OA=OB，
由于A、B分別在原點(diǎn)兩側(cè)，
因此A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即拋物線的對(duì)稱軸為y軸，
∴x=

1

a

=0，顯然不成立，
因此不存在這樣的拋物線．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)與方程、幾何知識(shí)的綜合應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是利用根與系數(shù)的關(guān)系求出a的值．