【題目】如圖,一次函數(shù)y=-x+4的圖象與反比例函數(shù)y=(k為常數(shù),且k≠0)的圖象交于A(1,a),B兩點(diǎn).

(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)B的坐標(biāo);

(2)在x軸上找一點(diǎn)P,使PA+PB的值最小,求滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PAB的面積.

【答案】(1)y=,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,1).(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,0).

【解析】

試題分析:(1)由點(diǎn)A在一次函數(shù)圖象上,結(jié)合一次函數(shù)解析式可求出點(diǎn)A的坐標(biāo),再由點(diǎn)A的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出反比例函數(shù)解析式,聯(lián)立兩函數(shù)解析式成方程組,解方程組即可求出點(diǎn)B坐標(biāo);

(2)作點(diǎn)B作關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D,交x軸于點(diǎn)C,連接AD,交x軸于點(diǎn)P,連接PB.由點(diǎn)B、D的對(duì)稱性結(jié)合點(diǎn)B的坐標(biāo)找出點(diǎn)D的坐標(biāo),設(shè)直線AD的解析式為y=mx+n,結(jié)合點(diǎn)A、D的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出直線AD的解析式,令直線AD的解析式中y=0求出點(diǎn)P的坐標(biāo),再通過分割圖形結(jié)合三角形的面積公式即可得出結(jié)論.

試題解析:(1)把點(diǎn)A(1,a)代入一次函數(shù)y=-x+4,

得:a=-1+4,解得:a=3,

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,3).

把點(diǎn)A(1,3)代入反比例函數(shù)y=

得:3=k,

∴反比例函數(shù)的表達(dá)式y(tǒng)=

聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式成方程組得:,

解得:,或,

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,1).

(2)作點(diǎn)B作關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D,交x軸于點(diǎn)C,連接AD,交x軸于點(diǎn)P,此時(shí)PA+PB的值最小,連接PB,如圖所示.

∵點(diǎn)B、D關(guān)于x軸對(duì)稱,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,1),

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(3,- 1).

設(shè)直線AD的解析式為y=mx+n,

把A,D兩點(diǎn)代入得:

解得:,

∴直線AD的解析式為y=-2x+5.

令y=-2x+5中y=0,則-2x+5=0,

解得:x=,

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,0).

S△PAB=S△ABD-S△PBD=BD(xB-xA)-BD(xB-xP

=×[1-(-1)]×(3-1)-×[1-(-1)]×(3-

=

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①b>0

②a-b+c<0

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(1)設(shè)AB的長為a,PB的長為b(ba),求PAB旋轉(zhuǎn)到P′CB的過程中邊PA所掃過區(qū)域(圖中陰影部分)的面積;

(2)若PA=2,PB=4,APB=135°,求PC的長.

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