【題目】已知,點P是正方形ABCD內(nèi)的一點,連接PA,PB,PC.將PAB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°到P′CB的位置(如圖).

(1)設AB的長為a,PB的長為b(ba),求PAB旋轉(zhuǎn)到P′CB的過程中邊PA所掃過區(qū)域(圖中陰影部分)的面積;

(2)若PA=2,PB=4,APB=135°,求PC的長.

【答案】(1)(a2-b2);(2)6.

【解析】

試題分析:(1)依題意,將P′CB逆時針旋轉(zhuǎn)90°可與PAB重合,此時陰影部分面積=扇形BAC的面積-扇形BPP'的面積,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知,兩個扇形的中心角都是90°,可據(jù)此求出陰影部分的面積.

(2)連接PP',根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知:BP=BP',旋轉(zhuǎn)角PBP'=90°,則PBP'是等腰直角三角形,BP'C=BPA=135°,PP'C=BP'C-BP'P=135°-45°=90°,可推出PP'C是直角三角形,進而可根據(jù)勾股定理求出PC的長.

試題解析:(1)PAB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°到P′CB的位置,

∴△PAB≌△P'CB,

S△PAB=S△P'CB,

S陰影=S扇形BAC-S扇形BPP′=(a2-b2);

(2)連接PP′,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知:APB≌△CP′B,

BP=BP′=4,P′C=PA=2,PBP′=90°,

∴△PBP'是等腰直角三角形,P'P2=PB2+P'B2=32;

∵∠BP′C=BPA=135°,

∴∠PP′C=BP′C-BP′P=135°-45°=90°,即PP′C是直角三角形.

PC==6.

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