Question

如圖所示．AD為△ABC的角平分線，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
求證：E，F(xiàn)關(guān)于AD對稱．

Answer 1

分析：先證明Rt△ADE≌Rt△ADF，再證明△AGE≌△AGF，所以AD垂直平分EF，∴E，F(xiàn)關(guān)于AD對稱（如果兩個圖形的對應(yīng)點連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱）．

解答：證法一：連接EF交AD于G，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠FAD．
在Rt△ADE和Rt△ADF中

∠EAD=∠FAD ∠AED=∠AFD AD=AD(公共邊)

，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（AAS）．
∴AE=AF（全等三角形對應(yīng)邊相等）．
∴在△AGE和△AGF中，

AE=AF ∠EAG=∠FAG AG=AG(公共邊)

．
∴△AGE≌△AGF（SAS）．
∴∠AGE=∠AGF，EG=FG．
又∵∠AGE+∠AGF=180°，
∴∠AGE=∠AGF=90°．
∴AD垂直平分EF．
∴E，F(xiàn)關(guān)于AD對稱（如果兩個圖形的對應(yīng)點連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱）．

證法二：連接EF交AD于G，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠FAD．
在Rt△ADE和Rt△ADF中

∠EAD=∠FAD ∠AED=∠AFD AD=AD(公共邊)

，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（AAS）．
∴AE=AF（全等三角形對應(yīng)邊相等）．
∴AD垂直平分EF（三線合一）．
∴E，F(xiàn)關(guān)于AD對稱（如果兩個圖形的對應(yīng)點連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱）．

點評：要想證明其對稱，就要證明那兩條線段相等，且與AD垂直．