Question

如圖所示，AD為⊙O的直徑，一條直線l與⊙O交于E、F兩點，過A、D分別作直線l的垂線，垂足是B、C，連接CD交⊙O于G．
（1）求證：AD•BE=FG•DF；
（2）設AB=m，BC=n，CD=p，求證：tan∠FAD、tan∠BAF是方程mx²-nx+p=0的兩個實數(shù)根．

Answer 1

分析：（1）連GF，過O點作OP⊥EF，P為垂足，則PE=PF，又DC⊥BC，AB⊥BC，則OP為直角梯形的中位線，得到PB=PC，則有BE=CF；由∠GFC=∠FAD，得到Rt△GFC∽Rt△ADF即可；
（2）由AD為⊙O的直徑，∠DFA=90°，則∠DFC+∠AFB=90°，得到∠DFC=∠ABF，則Rt△DFC∽Rt△FAB，得DF：FA=FC：AB=DC：FB，而tan∠FAD=

DF

FA

、tan∠BAF=

BF

AB

，再計算它們的和與積，即可證明tan∠FAD、tan∠BAF是方程mx²-nx+p=0的兩個實數(shù)根．

解答：證明：（1）連GF，過O點作OP⊥EF，P為垂足，則PE=PF，如圖，
∵DC⊥BC，AB⊥BC，
∴OP為直角梯形的中位線，
∴PB=PC，
∴BE=CF，
又∵∠GFC=∠FAD，AD為⊙O的直徑，∠DFA=90，
∴Rt△GFC∽Rt△ADF，
∴AD•BE=FG•DF；

（2）∵∠DFA=90°，
∴∠DFC+∠AFB=90°，
∴∠DFC=∠FAB，
∴Rt△DFC∽Rt△FAB，
∴DF：FA=FC：AB=DC：FB，
∵tan∠FAD=

DF

FA

，tan∠BAF=

BF

AB

，
∴tan∠FAD+tan∠BAF=

FD

FA

+

FB

AB

=

FC

AB

+

FB

AB

=

BC

AB

=

n

m

，tan∠FAD•tan∠BAF=

FD

FA

•

FB

AB

=

DC

FB

•

FB

AB

=

DC

AB

=

p

m

∴tan∠FAD、tan∠BAF是方程mx²-nx+p=0的兩個實數(shù)根．

點評：本題考查了圓周角定理的推論：直徑所對的圓周角為90度．同時考查了直角梯形的中位線性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)，一元二次方程根與系數(shù)的關系．