Question

定義：在平面內(nèi)，我們把既有大小又有方向的量叫做平面向量．平面向量可以用有向線段表示，有向線段的長度表示向量的大小，有向線段的方向表示向量的方向．其中大小相等，方向相同的向量叫做相等向量．
如以正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)中某一點(diǎn)為起點(diǎn)，另一個(gè)頂點(diǎn)為終點(diǎn)作向量，可以作出8個(gè)不同的向量：

AB

、

BA

、

AC

、

CA

、

AD

、

DA

、

BD

、

DB

（由于

AB

和

DC

是相等向量，因此只算一個(gè)）．
（1）作兩個(gè)相鄰的正方形（如圖一）．以其中的一個(gè)頂點(diǎn)為起點(diǎn)，另一個(gè)頂點(diǎn)為終點(diǎn)作向量，可以作出不同向量的個(gè)數(shù)記為f（2），試求f（2）的值；

（2）作n個(gè)相鄰的正方形（如圖二）“一字型”排開．以其中的一個(gè)頂點(diǎn)為起點(diǎn)，另一個(gè)頂點(diǎn)為終點(diǎn)作向量，可以作出不同向量的個(gè)數(shù)記為f（n），試求f（n）的值；

（3）作2×3個(gè)相鄰的正方形（如圖三）排開．以其中的一個(gè)頂點(diǎn)為起點(diǎn)，另一個(gè)頂點(diǎn)為終點(diǎn)作向量，可以作出不同向量的個(gè)數(shù)記為f（2×3），試求f（2×3）的值；

（4）作m×n個(gè)相鄰的正方形（如圖四）排開．以其中的一個(gè)頂點(diǎn)為起點(diǎn)，另一個(gè)頂點(diǎn)為終點(diǎn)作向量，可以作出不同向量的個(gè)數(shù)記為f（m×n），試求f（m×n）的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圖形，即可求得f（2）的值；
（2）首先求f（1），f（2），f（3），f（4），所以得到規(guī)律為：f（n）=6n+2；
（3）根據(jù)圖形，即可求得f（2×3）的值；
（4）先分析特殊情況，再求得規(guī)律：f（m×n）=2（m+n）+4mn．

解答：解：（1）作兩個(gè)相鄰的正方形，以其中的一個(gè)頂點(diǎn)為起點(diǎn)，另一個(gè)頂點(diǎn)為終點(diǎn)作向量，可以作出不同向量的個(gè)數(shù)f（2）=14；

（2）分別求出作兩個(gè)、三個(gè)、四個(gè)相鄰的正方形（如圖1）．以其中的一個(gè)頂點(diǎn)為起點(diǎn)，另一個(gè)頂點(diǎn)為終點(diǎn)作向量，可以作出不同的向量個(gè)數(shù)，找出規(guī)律，
∵f（1）=6×1+2=8，f（2）=6×2+2=14，f（3）=6×3+2=20，f（4）=6×4+2=26，
∴f（n）=6n+2；

（3）f（2×3）=34；

（4）∵f（2×2）=24，f（2×3）=34，f（2×4）=44，f（3×2）=34，f（3×3）=48，f（3×4）=62
∴f（m×n）=2（m+n）+4mn．

點(diǎn)評：此題考查了向量的知識．注意解此題的關(guān)鍵是找到規(guī)律：f（n）=6n+2與f（m×n）=2（m+n）+4mn．