Question

在正方形ABCD中，AB=4，動點E在AB上（0＜EA＜2），現(xiàn)將正方形沿著過E點的直線翻折，使得點B落在邊AD上的點F，翻折后邊BC所在的直線與DC交于G．
（1）求證：△EAF∽△FDG；
（2）試探究：在點E運動的過程中，△FDG的周長是否發(fā)生變化？若變化，請說明理由；若不變化，求出它的值．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì),翻折變換（折疊問題）

專題：

分析：（1）易證∠DFG=∠AEF，即可證明△EAF∽△FDG；
（2）不變；理由：設(shè)BE=x，F(xiàn)A=y，根據(jù)勾股定理可得EF²=AE²+AF²，即可求得y²=-64+16x，根據(jù)△EAF∽△FDG可得

FD

AE

=

C△DFG

C△AEF

，即可求得C_△DFG=

64-y2

8-x

，即可解題．

解答：證明：（1）∵∠EFA+∠AEF=90°，∠EFA+∠DFG=90°，
∴∠DFG=∠AEF，
∵∠A=∠D=90°，
∴△EAF∽△FDG；

（2）解：不變；
理由：設(shè)BE=x，F(xiàn)A=y，
在RT△AEF中，EF²=AE²+AF²，∴x²=（8-x）²+y²，
∴y²=-64+16x，
∵△EAF∽△FDG，
∴

FD

AE

=

C△DFG

C△AEF

，
∴

8-y

8-x

=

C△DFG

8+y

，
∴C_△DFG=

64-y2

8-x

=16，
∴△FDG的周長不變．

點評：本題考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形對應(yīng)邊比例等于周長比的性質(zhì)，本題中求證△EAF∽△FDG是解題的關(guān)鍵．