Question

已知a、b為整數(shù)，若一元二次方程x²-ax^a-b+（2a-b-1）x+a²+a-b-4=0的根都是整數(shù)，求a、b的值．

Answer 1

解：根據(jù)題目分三種情況討論：
①當(dāng)a-b=2即b=a-2時(shí)，
原方程可化為：（1-a）x²+（a+1）x+（a-2）=0，
設(shè)方程兩根為：x₁，x₂，則：x₁+x₂=，x₁x₂=，
∵x₁，x₂為整數(shù)，∴x₁+x₂=，x₁x₂=均為整數(shù)，
可得：或者；
②當(dāng)a-b=1即b=a-1時(shí)，
原方程可化為：x²+a²-3=0，
當(dāng)：x₁，x₂，a，b為整數(shù)時(shí)，無解；
③當(dāng)a-b=0即a=b時(shí)，
原方程可化為：x²+（a-1）x+a²-a-4=0，
x₁+x₂=1-a，x₁x₂=a²-a-4，
可得有無數(shù)組a，b，x₁，x₂滿足題意．
分析：因?yàn)榉匠蘹²-ax^a-b+（2a-b-1）x+a²+a-b-4=0為一元二次方程，且兩根和a，b均為整數(shù)，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系和一元二次方程的定義分情況討論分別求解a，b值，即可得出答案．
點(diǎn)評：本題主要考查根與系數(shù)的關(guān)系及一元二次方程的定義，難度較大，關(guān)鍵根據(jù)題意分情況討論可能的各種情況，掌握x₁，x₂是方程x²+px+q=0的兩根時(shí)，x₁+x₂=-p，x₁x₂=q．