【題目】如圖,已知△BAD和△BCE均為等腰直角三角形,∠BAD=∠BCE=90°,點(diǎn)M為DE的中點(diǎn),過點(diǎn)E與AD平行的直線交射線AM于點(diǎn)N.
(1)當(dāng)A,B,C三點(diǎn)在同一直線上時(shí)(如圖1),求證:M為AN的中點(diǎn);
(2)將圖1中的△BCE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn),當(dāng)A,B,E三點(diǎn)在同一直線上時(shí)(如圖2),求證:△ACN為等腰直角三角形;
(3)將圖1中△BCE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到圖3位置時(shí),(2)中的結(jié)論是否仍成立?若成立,試證明之,若不成立,請(qǐng)說明理由.
【答案】
(1)證明:如圖1,
∵EN∥AD,
∴∠MAD=∠MNE,∠ADM=∠NEM.
∵點(diǎn)M為DE的中點(diǎn),
∴DM=EM.
在△ADM和△NEM中,
∴ .
∴△ADM≌△NEM.
∴AM=MN.
∴M為AN的中點(diǎn)
(2)證明:如圖2,
∵△BAD和△BCE均為等腰直角三角形,
∴AB=AD,CB=CE,∠CBE=∠CEB=45°.
∵AD∥NE,
∴∠DAE+∠NEA=180°.
∵∠DAE=90°,
∴∠NEA=90°.
∴∠NEC=135°.
∵A,B,E三點(diǎn)在同一直線上,
∴∠ABC=180°﹣∠CBE=135°.
∴∠ABC=∠NEC.
∵△ADM≌△NEM(已證),
∴AD=NE.
∵AD=AB,
∴AB=NE.
在△ABC和△NEC中,
∴△ABC≌△NEC.
∴AC=NC,∠ACB=∠NCE.
∴∠ACN=∠BCE=90°.
∴△ACN為等腰直角三角形
(3)△ACN仍為等腰直角三角形.
證明:如圖3,延長AB交NE于點(diǎn)F,
∵AD∥NE,M為中點(diǎn),
∴易得△ADM≌△NEM,
∴AD=NE.
∵AD=AB,
∴AB=NE.
∵AD∥NE,
∴AF⊥NE,
在四邊形BCEF中,
∵∠BCE=∠BFE=90°
∴∠FBC+∠FEC=360°﹣180°=180°
∵∠FBC+∠ABC=180°
∴∠ABC=∠FEC
在△ABC和△NEC中,
∴△ABC≌△NEC.
∴AC=NC,∠ACB=∠NCE.
∴∠ACN=∠BCE=90°.
∴△ACN為等腰直角三角形.
【解析】(1)由EN∥AD和點(diǎn)M為DE的中點(diǎn)可以證到△ADM≌△NEM,從而證到M為AN的中點(diǎn).(2)易證AB=DA=NE,∠ABC=∠NEC=135°,從而可以證到△ABC≌△NEC,進(jìn)而可以證到AC=NC,∠ACN=∠BCE=90°,則有△ACN為等腰直角三角形.(3)延長AB交NE于點(diǎn)F,易得△ADM≌△NEM,根據(jù)四邊形BCEF內(nèi)角和,可得∠ABC=∠FEC,從而可以證到△ABC≌△NEC,進(jìn)而可以證到AC=NC,∠ACN=∠BCE=90°,則有△ACN為等腰直角三角形.
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【題目】(12分)如圖,以△ABC的BC邊上一點(diǎn)O為圓心的圓,經(jīng)過A、B兩點(diǎn),且與BC邊交于點(diǎn)E,D為BE的下半圓弧的中點(diǎn),連接AD交BC于F,AC=FC.
(1)求證:AC是⊙O的切線;
(2)已知圓的半徑R=5,EF=3,求DF的長.
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【題目】小亮在上午8時(shí)、9時(shí)30分、10時(shí)、12時(shí)四次到室外的陽光下觀察向日葵的頭莖隨太陽轉(zhuǎn)動(dòng)的情況,無意之中,他發(fā)現(xiàn)這四個(gè)時(shí)刻向日葵影子的長度各不相同,那么影子最長的時(shí)刻為( )
A. 上午8時(shí) B. 上午9時(shí)30分 C. 上午10時(shí) D. 上午12時(shí)
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【題目】下列分解因式正確的是( )
A.﹣a+a3=﹣a(1+a2)
B.2a﹣4b+2=2(a﹣2b)
C.a2﹣4=(a﹣2)2
D.a2﹣2a+1=(a﹣1)2
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【題目】如圖所示,△ABE和△ADC是△ABC分別沿著AB,AC邊翻折180°形成的,若∠1:∠2:∠3=28:5:3,則∠α的度數(shù)為( )
A.80°
B.100°
C.60°
D.45°
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【題目】任意拋擲一枚骰子兩次,骰子停止轉(zhuǎn)動(dòng)后,計(jì)算朝上的點(diǎn)數(shù)的和.
(1)和最小的是多少,和最大的是多少?
(2)下列事件:①點(diǎn)數(shù)的和為7;②點(diǎn)數(shù)的和為1;③點(diǎn)數(shù)的和為15.哪些是不可能性事件?哪些是不確定事件?
(3)點(diǎn)數(shù)的和為7與點(diǎn)數(shù)的和為2的可能性誰大?請(qǐng)說明理由.
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