Question

（2012•張家口一模）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²+c與x軸正半軸交于點(diǎn)F（4，0）、與y軸正半軸交于點(diǎn)E（0，4），邊長為4的正方形ABCD的頂點(diǎn)D與原點(diǎn)O重合，頂點(diǎn)A與點(diǎn)E重合，頂點(diǎn)C與點(diǎn)F重合；

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）如圖2，若正方形ABCD在平面內(nèi)運(yùn)動，并且邊BC所在的直線始終與x軸垂直，拋物線與邊AB交于點(diǎn)P且同時與邊CD交于點(diǎn)Q．設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m，n）
①當(dāng)PO=PF時，分別求出點(diǎn)P和點(diǎn)Q的坐標(biāo)及PF所在直線l的函數(shù)解析式；
②當(dāng)n=2時，若P為AB邊中點(diǎn)，請求出m的值；
（3）若點(diǎn)B在第（2）①中的PF所在直線l上運(yùn)動，且正方形ABCD與拋物線有兩個交點(diǎn)，請直接寫出m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）已知拋物線的對稱軸是y軸，頂點(diǎn)是（0，4），經(jīng)過點(diǎn)（4，0），利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式；
（2）①過點(diǎn)P作PG⊥x軸于點(diǎn)G，根據(jù)三線合一定理可以求得G的坐標(biāo)，則P點(diǎn)的橫坐標(biāo)可以求得，把P的橫坐標(biāo)代入拋物線的解析式，即可求得縱坐標(biāo)，得到P的坐標(biāo)，再根據(jù)正方形的邊長是4，即可求得Q的縱坐標(biāo)，代入拋物線的解析式即可求得Q的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法即可求得直線PF的解析式；
②已知n=2，即A的縱坐標(biāo)是2，則P的縱坐標(biāo)一定是2，把y=2代入拋物線的解析式即可求得P的橫坐標(biāo)，根據(jù)AP=2，且AP∥y軸，即可得到A的橫坐標(biāo)，從而求得m的值；
（3）假設(shè)B在M點(diǎn)時，C在拋物線上或假設(shè)當(dāng)B點(diǎn)在N點(diǎn)時，D點(diǎn)同時在拋物線上時，求得兩個臨界點(diǎn)，當(dāng)B在MP和FN之間移動時，拋物線與正方形有兩個交點(diǎn)．

解答：解：（1）由拋物線y=ax²+c經(jīng)過點(diǎn)E（0，4），F(xiàn)（4，0）

16a+c=0 c=4

，解得

a=- 1 4 c=4

，
∴y=-

1

4

x²+4；

（2）①過點(diǎn)P作PG⊥x軸于點(diǎn)G，
∵PO=PF∴OG=FG
∵F（4，0）∴OF=4
∴OG=

1

2

OF=

1

2

×4=2，即點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2
∵點(diǎn)P在拋物線上
∴y=-

1

4

×2²+4=3，即P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3
∴P（2，3）
∵點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為3，正方形ABCD邊長是4，∴點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為-1
∵點(diǎn)Q在拋物線上，∴-1=-

1

4

x²+4
∴x₁=2

5

，x₂=-2

5

（不符題意，舍去）
∴Q（2

5

，-1）
設(shè)直線PF的解析式是y=kx+b，
根據(jù)題意得：

2k+b=3 4k+b=0

，
解得：

k=- 3 2 b=6

，
則直線的解析式是：y=-

3

2

x+6；

②當(dāng)n=2時，則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為2
∵P在拋物線上，∴2=-

1

4

x²+4
∴x₁=2

2

，x₂=-2

2

∴P的坐標(biāo)為（2

2

，2）或（-2

2

，2）
∵P為AB中點(diǎn)∴AP=2
∴A的坐標(biāo)為（2

2

-2，2）或（-2

2

-2，2）
∴m的值為2

2

-2或-2

2

-2；

（3）假設(shè)B在M點(diǎn)時，C在拋物線上，A的橫坐標(biāo)是m，則B的橫坐標(biāo)是m+4，
代入直線PF的解析式得：y=-

3

2

（m+4）+6=-

3

2

m，
則B的縱坐標(biāo)是-

3

2

m，則C的坐標(biāo)是（m+4，-

3

2

m-4）．
把C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得：-

3

2

m-4=-

1

4

（m+4）²+4，解得：m=-1-

17

或-1+

17

（舍去）；

當(dāng)B在E點(diǎn)時，AB經(jīng)過拋物線的頂點(diǎn)，則E的縱坐標(biāo)是4，
把y=4代入y=-

3

2

x+6，得4=-

3

2

x+6，解得：x=

4

3

，
此時A的坐標(biāo)是（-

8

3

，4），E的坐標(biāo)是：（

4

3

，4），此時正方形與拋物線有3個交點(diǎn)．
當(dāng)點(diǎn)B在E點(diǎn)時，正方形與拋物線有兩個交點(diǎn)，此時-1-

17

＜m＜-

8

3

；
當(dāng)點(diǎn)B在E和P點(diǎn)之間時，正方形與拋物線有三個交點(diǎn)，此時：-

8

3

＜x＜-2；
當(dāng)B在P點(diǎn)時，有兩個交點(diǎn)；
假設(shè)當(dāng)B點(diǎn)在N點(diǎn)時，D點(diǎn)同時在拋物線上時，
同理，C的坐標(biāo)是（m+4，-

3

2

m-4），則D點(diǎn)的坐標(biāo)是：（m，-

3

2

m-4），
把D的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得：-

3

2

m-4=-

1

4

m²+4，解得：m=3+

41

或3-

41

（舍去），
當(dāng)B在F與N之間時，拋物線與正方形有兩個交點(diǎn)．此時0＜m＜3+

41

．
故m的范圍是：-1-

17

＜m-

8

3

或m=2或0＜m＜3+

41

．

點(diǎn)評：本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，以及正方形的性質(zhì)，確定正方形與拋物線有兩個交點(diǎn)時的位置是關(guān)鍵．