Question

直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=4，BC=8，CD=10，E為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)P從C點(diǎn)出發(fā)，沿著折線CDA以每秒1個(gè)單位的速度向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)t秒．
（1）t取何值時(shí)，PE⊥AD；
（2）在（1）的條件下，能否在BC邊上找到一點(diǎn)Q，使四邊形AEPQ為矩形？若能則指出Q點(diǎn)的位置，若不能則說明理由；
（3）AC與BP互相垂直時(shí)直接寫出t的值．

Answer 1

（1）解：作AF⊥CD于F．
根據(jù)題意，得
AF=BC=8，DF=CD-AB=10-4=6，PD=10-t，
根據(jù)勾股定理，得AD=10，
又E為AD的中點(diǎn)，
∴DE=5．
要使PE⊥AD，則需△PDE∽△ADF，
即，
即，
解，得t=；

（2）作AG⊥AD交BC于G，則∠1=∠2．
∴△ADF∽△AGB，
∴，
即，
則AG=5．
由（1），得PE==≠5，
所以在（1）的條件下，不能在BC邊上找到一點(diǎn)Q，使四邊形AEPQ為矩形；

（3）AC與BP互相垂直時(shí)，則t=16．
分析：（1）作AF⊥CD于F．根據(jù)相似三角形的判定得△ADF∽△PDE，再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等求解；
（2）作AG⊥AD交BC于G，根據(jù)相似三角形的判定得到△ADF∽△AGB，從而求得AG的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理求得PE的長(zhǎng)，進(jìn)一步判斷；
（3）根據(jù)（1）知AD=CD，則∠2=∠3，根據(jù)平行線的性質(zhì)，得∠1=∠3，則∠1=∠2，再結(jié)合要使AC與BP互相垂直，則此時(shí)AP=AB=4，即t=16．
點(diǎn)評(píng)：此題綜合運(yùn)用了相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等，有一定的難度．