Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，AB=2DC，對(duì)角線AC⊥BD，垂足為F，過點(diǎn)F作EF∥AB，交AD于點(diǎn)E，CF=4cm．
（1）求證：四邊形ABFE是等腰梯形；
（2）求AE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）過點(diǎn)D作DM⊥AB，根據(jù)已知可求得四邊形BCDM為矩形，從而得到DC=MB，因?yàn)锳B=2DC，從而推出△ABD是等腰三角形，從而得到∠DAB=∠DBA，因?yàn)镋F∥AB，AE不平行FB，所以AEFB為梯形，從而根據(jù)同一底上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形得證；
（2）由已知可得到△DCF∽△BAF，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，可得到AF的長(zhǎng)，再根據(jù)△BCF∽△ACB，得到BF²=CF•AF，從而求得BF的長(zhǎng)，由第一問已證得BF=AE，所以就求得了AE的長(zhǎng)．

解答：（1）證明：過點(diǎn)D作DM⊥AB，
∵DC∥AB，∠CBA=90°，
∴四邊形BCDM為矩形．
∴DC=MB．
∵AB=2DC，
∴AM=MB=DC．
∵DM⊥AB，
∴AD=BD．
∴∠DAB=∠DBA．
∵EF∥AB，AE與BF交于點(diǎn)D，即AE與FB不平行，
∴四邊形ABFE是等腰梯形．

（2）解：∵DC∥AB，
∴△DCF∽△BAF．
∴

CD

AB

=

CF

AF

=

1

2

．
∵CF=4cm，
∴AF=8cm．
∵AC⊥BD，∠ABC=90°，
在△ABF與△BCF中，
∵∠ABC=∠BFC=90°，
∴∠FAB+∠ABF=90°，
∵∠FBC+∠ABF=90°，
∴∠FAB=∠FBC，
∴△ABF∽△BCF（AA），即

BF

CF

=

AF

BF

，
∴BF²=CF•AF．
∴BF=4

2

cm．
∴AE=BF=4

2

cm．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查學(xué)生對(duì)等腰梯形的判定及相似三角形的判定的理解及運(yùn)用．