Question

一位同學(xué)拿了兩塊45°三角尺△MNK，△ACB做了一個探究活動：將△MNK的直角頂點M放在△ABC的斜邊AB的中點處，設(shè)AC=BC=4．

（1）如圖1，兩三角尺的重疊部分為△ACM，則重疊部分的面積為______，周長為______．
（2）將圖1中的△MNK繞頂點M逆時針旋轉(zhuǎn)45°，得到圖2，此時重疊部分的面積為______，周長為______．
（3）如果將△MNK繞M旋轉(zhuǎn)到不同于圖1和圖2的圖形，如圖3，請你猜想此時重疊部分的面積為______．
（4）在圖3情況下，若AD=1，求出重疊部分圖形的周長．

Answer 1

解：（1）∵AC=BC=4，∠ACB=90°，
∴AB===4，
∵M是AB的中點，
∴AM=2，
∵∠ACM=45°，
∴AM=MC，
∴重疊部分的面積是=4，
∴周長為：AM+MC+AC=2+2+4=4+4；
故答案為：4，4+4；

（2）∵疊部分是正方形，
∴邊長為×4=2，面積為×4×4=4，
周長為2×4=8．
故答案為：4，8．

（3）過點M分別作AC、BC的垂線MH、ME，垂足為H、E，
∵M是△ABC斜邊AB的中點，AC=BC=4，
∴MH=BC，
ME=AC，
∴MH=ME，
又∵∠NMK=∠HME=90°，
∴∠NMH+∠HMK=90°，∠EMG+∠HMK=90°，
∴∠HMD=∠EMG，
在△MHD和△MEG中，
∵，
∴△MHD≌△MEG（ASA），
∴陰影部分的面積等于正方形CEMH的面積，
∵正方形CEMH的面積是ME•MH=×4××4=4；
∴陰影部分的面積是4；
故答案為：4．

（4）如圖所示：
過點M作ME⊥BC于點E，MH⊥AC于點H，
∴四邊形MECH是矩形，
∴MH=CE，
∵∠A=45°，
∴∠AMH=45°，
∴AH=MH，
∴AH=CE，
在Rt△DHM和Rt△GEM中，，
∴Rt△DHM≌Rt△GEM．
∴GE=DH，
∴AH-DH=CE-GE，
∴CG=AD，
∵AD=1，
∴DH=1．
∴DM==
∴四邊形DMGC的周長為：
CE+CD+DM+ME
=AD+CD+2DM=4+2．
分析：（1）根據(jù)AC=BC=4，∠ACB=90°，得出AB的值，再根據(jù)M是AB的中點，得出AM=MC，求出重疊部分的面積，再根據(jù)AM，MC，AC的值即可求出周長；
（2）易得重疊部分是正方形，邊長為AC，面積為AC²，周長為2AC．
（3）過點M分別作AC、BC的垂線MH、ME，垂足為H、E．求得Rt△MHD≌Rt△MEG，則陰影部分的面積等于正方形CEMH的面積．
（4）先過點M作ME⊥BC于點E，MH⊥AC于點H，根據(jù)∠DMH=∠EMH，MH=ME，得出Rt△DHM≌Rt△EMG，從而得出HD=GE，CE=AD，最后根據(jù)AD和DF的值，算出DM=，即可得出答案．
點評：此題考查了等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的面積公式，正方形的面積公式，全等三角形的判定和性質(zhì)求解．