Question

9．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分線AD交BC邊于點D．以AB上一點O為圓心作⊙O，使⊙O經過點A和點D．
（1）求證：直線BC是⊙O的切線；
（2）若AC=3，∠B=30°，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）連接OD，根據角平分線的定義和等腰三角形的性質證明OD∥AC，根據平行線的性質得到∠C=90°，根據切線的判定定理證明；
（2）過點O作OM⊥AD垂足為M，根據垂徑定理和余弦的概念計算即可．

解答 （1）證明：連接OD，則OA=OD，
∴∠OAD=ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD，
∴∠CAD=∠ODA，
∴OD∥AC，
∵∠C=90°，
∴∠ODB=90°，
∴直線BC是⊙O的切線；
（2）解：∵∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD=30°，
∴AD=AC÷cos30°=2$\sqrt{3}$，
過點O作OM⊥AD垂足為M，則AM=$\frac{1}{2}$AD=$\sqrt{3}$，
OA=AM÷cos30°=2，
∴⊙O的半經為2．

點評 本題考查的是切線的判定定理、垂徑定理、銳角三角函數的概念，掌握經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線是解題的關鍵．