Question

已知直線y=x與函數(shù)y=（x＞0，k＞0）的圖象交于點A，以坐標原點O為圓心，OA長為半徑畫弧，交x軸正半軸于點C，直線AB交x軸負半軸于B點，∠ABC=30°．
（1）畫出滿足題意的示意圖；
（2）請用含π的代數(shù)式表示的值；（其中，S為△AOB面積，T為扇形AOC面積）
（3）設(shè)k取k₁時，△AOB面積為S₁，扇形AOC面積為T₁，k取k₂時，△AOB面積為S₂，扇形AOC面積為T₂…求-+-+…-+的值．

Answer 1

解：（1）畫圖正確


（2）由題意可得A點坐標為（，）過A作AD⊥x軸于D，
BO=-，AD=，OA=
∴△AOB的面積S=k
扇形AOC面積T=k
==
因此無論k值如何變化，的值都不變，==；

（3）-+-+-+==．
分析：（1）首先確定點C的位置，再進一步畫出30度的角確定點B的位置；
（2）首先根據(jù)直線和雙曲線的解析式可以求得交點A的坐標，作AD⊥x軸于D，則得到等腰直角三角形AOD．根據(jù)勾股定理求得OA的長，即可表示出扇形的面積；要求OB的長，根據(jù)30度的直角三角形的性質(zhì)求得BD的長，從而求得OB的長，即可表示出三角形的面積．最后求得比值；
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，不難看到它們之間的面積比是一個定值，利用抵消的方法即可求解．
點評：注意：直線y=x即是第一、三象限的角平分線，可以出現(xiàn)等腰直角三角形．掌握等腰直角三角形和30度的直角三角形的性質(zhì)，熟悉三角形和扇形的面積公式．