Question

已知方程x²+（a-3）x+3=0在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)恒有解，并且恰有一個(gè)解大于1小于2，a的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：在與一元二次方程有關(guān)的求值問題中，必須滿足下列條件：
（1）二次項(xiàng)系數(shù)不為零；
（2）在恒有解下必須滿足△=b²-4ac≥0．
解答：解：設(shè)f（x）=x²+（a-3）x+3，問題等價(jià)于 f（x）有一個(gè)零點(diǎn)在（1，2）內(nèi)
根據(jù)二次方程根的分布，這等價(jià)于 f（1）•f（2）＜0
即[1+（a-3）+3]•[4+（a-3）2+3]＜0，
也即（a+1）•（2a+1）＜0
解得-1＜a＜-．
當(dāng)△=0時(shí)，即b²-4ac=0，
∴（a-3）2-12=0，
∴a=2+3或-2+3，
∵恰有一個(gè)解大于1小于2，
∵當(dāng)a=2+3時(shí)，x=-（舍）
∴當(dāng)a=2+3不合題意，
當(dāng)a=3-2時(shí)，x=，符合題意，
故答案為：-1＜a＜-或a=3-2．
點(diǎn)評(píng)：主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)與一元二次方程之間的關(guān)系．這些性質(zhì)和規(guī)律要求學(xué)生熟練掌握．