【題目】如圖,在等腰梯形ABCD中,ABDC,AB=16cm,CD=10cm,AD=5cm DEAB,垂足為E,點P從點A出發(fā),以2cm/秒的速度沿AB向終點B運動;點Q從點C出發(fā),以1cm/秒的速度沿CD向終點D運動(P,Q兩點中,有一個點運動到終點時,所有運動即終止),設P,Q同時出發(fā)并運動了t秒.

(1)當四邊形EPQD為矩形時,求t的值.

(2)當以點E、P、C、Q為頂點的四邊形是平行四邊形時,求t的值;

(3)探索:是否存在這樣的t值,使三角形PDQ是以PD為腰的等腰三角形?若存在,求出t的值,若不存在,請說明理由.

【答案】(1)t=;(2)t=1或t=3;(3見解析

【解析】

試題分析:(1)首先過點C作CFAB于點F,可得AE=BF=3cm,由ABCD,DEF=90°,可得當EP=DQ時,四邊形EPQD為矩形,即可得方程:2t﹣3=10﹣t,解此方程即可求得答案;

(2)由ABCD,可得當AP=CQ時,以點E、P、C、Q為頂點的四邊形是平行四邊形,然后分別從當P在AE左側(cè)時與當P在AE右側(cè)時去分析求解即可求得答案;

(3)首先由勾股定理表示出PD2,DQ2,PQ2,然后分別從PD=DQ或PD=PQ去分析求解即可求得答案.

解:(1)過點C作CFAB于點F,

在等腰梯形ABCD中,ABDC,DEAB,

DE=CF,

在RtADE和RtBCF中,

,

RtADERtBCF(HL);

BF=AE,

AB=16cm,CD=10cm,

AE=BF=3cm,

根據(jù)題意得:AP=2tcm,CQ=tcm,

EP=AP﹣AE=2t﹣3(cm),DQ=CD﹣CQ=10﹣t(cm),

ABCD,DEF=90°,

當EP=DQ時,四邊形EPQD為矩形,

2t﹣3=10﹣t,

解得:t=

當四邊形EPQD為矩形時,t=;

(2)ABCD,

當AP=CQ時,以點E、P、C、Q為頂點的四邊形是平行四邊形,

當P在AE左側(cè)時,EP=AE﹣AP=3﹣2t(cm),

此時3﹣2t=t,解得:t=1,

當P在AE右側(cè)時,EP=AP﹣AE=2t﹣3(cm),

此時2t﹣3=t,解得:t=3,

當以點E、P、C、Q為頂點的四邊形是平行四邊形時,t=1或t=3;

(3)存在.

理由:在RtADE中,AE=3,AD=5,

DE==4,

PD2=PE2+DE2=(2t﹣3)2+42=4t2﹣12t+25,DQ2=(10﹣t)2=t2﹣20t+100,

過點Q作QMAB于點M,則BM=BF+FM=3+t,

PM=AB﹣AP﹣BM=13﹣3t(cm),

PQ2=QM2+PM2=(13﹣3t)2+42=9t2﹣78t+185,

若PD=DQ,則4t2﹣12t+25=t2﹣20t+100,

解得:t=(負值舍去);

若PD=PQ,則4t2﹣12t+25=9t2﹣78t+185,

解得:t1=,t2=10(舍去),

綜上可得:t=或t=

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