Question

如圖，矩形ABCD的邊AD=18cm，AB=16cm，⊙O與AB，BC分別相切于E，F(xiàn)，并且⊙O與以AD為直徑的半圓N相切于P，試求⊙O的半徑長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：相切兩圓的性質(zhì)

專題：

分析：如圖，作輔助線；首先證明AQ=OE=μ；BE=OF=μ；求出λ=

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AD=9，得到NQ=9-μ，OQ=16-μ，ON=9+μ；運(yùn)用勾股定理列出關(guān)于μ的方程，求出μ即可解決問(wèn)題．

解答： 解：如圖，連接OE、OF；連接ON；
延長(zhǎng)FO交AD于點(diǎn)Q；設(shè)⊙O、⊙N的半徑分別為λ、μ；
∵⊙O與AB，BC分別相切于E，F(xiàn)，且⊙O與半圓N相切于P，
∴OE⊥AB、OF⊥BC、ON過(guò)點(diǎn)P；
∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠A=∠B=90°，四邊形ABFQ、EBFO均為矩形，
∴AQ=OE=μ；BE=OF=μ；由題意得：λ=

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AD=9，
∴NQ=9-μ，OQ=16-μ，ON=9+μ；
由勾股定理得：（9+μ）²=（9-μ）²+（16-μ）²，
解得：μ=4或64（設(shè)去），
即⊙O的半徑長(zhǎng)=4（cm）．

點(diǎn)評(píng)：該題主要考查了相切兩圓的性質(zhì)、矩形的判定及其性質(zhì)、勾股定理等幾何知識(shí)點(diǎn)及其應(yīng)用問(wèn)題；解題的關(guān)鍵是作輔助線，對(duì)綜合的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力提出了一定的要求．