Question

一次函數(shù)y=kx+b的圖象與x軸、y軸分別交于點A（2，0），B（0，4），O為坐標原點，線段OA、AB的中點分別為點C、D，P為直線OB上一動點．
（1）當點P在直線OB上運動時，△PCD的面積是否發(fā)生變化？請說明理由；
（2）當點P在直線OB上運動時，△PCD的周長是否發(fā)生變化？如果發(fā)生變化，求出△PCD的最小周長及周長最小時P點的坐標；
（3）直接寫出△PCD為等腰三角形時P點的坐標；
（4）直接寫出△PCD為直角三角形時P點的坐標．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）先證明CD∥OB，點D（1，2），再以CD為底，高為P到CD的距離，即D的橫坐標就是高h，△PCD的面積=

1

2

CD•h，面積不變；
（2）作點C關于y軸的對稱點C′，如圖所示：則可得C′點坐標為（-1，0）；連接C′D交y軸于點P，P點即為所求的點，此時△PCD的周長的最小值為C′D+CD；由△PC′O∽△DC′C，得出

OP

CD

=

OC′

CC′

，求出OP，根據(jù)勾股定理得出C′D，即可得出△PCD的周長的最小值；
（3）△PCD為等腰三角形時，分三種情況討論：①當PC=PD時，P在CD的垂直平分線上，與y軸交點即為點P；
②當CP=CD時，CP=2，以C為圓心，2為半徑畫弧，與y軸交于兩點；
③當DP=CD時，以D為圓心，2為半徑畫弧，與y軸交于兩點；共5個解；
（4）當△PCD為直角三角形時，分三種情況討論：
①當D為直角頂點時；
②當點C為直角頂點時；
③當P為直角頂點時；分別求出P的坐標即可．

解答： 解：（1）△PCD的面積不發(fā)生變化；理由如下：
∵線段OA、AB的中點分別為點C、D，
∴C點坐標為（1，0），D點坐標為（1，2），CD=2，CD∥OB，
又∵點P在直線OB上運動，
∴點P到CD的距離總是1，即△PCD的CD邊上的高為1，
∴S_△PCD=

1

2

CD•h=

1

2

×2×1=1，
∴△PCD的面積不發(fā)生變化；
（2）△PCD的周長發(fā)生變化；理由：
作點C關于y軸的對稱點C′，如圖所示：
則可得C′點坐標為（-1，0）；
連接C′D交y軸于點P，P點即為所求的點，
此時△PCD的周長的最小值為C′D+CD；
∵OP∥CD，
∴△PC′O∽△DC′C，
∴

OP

CD

=

OC′

CC′

，
又∵OC′=OC=1，CD=2，
∴

OP

2

=

1

2

，
∴OP=1，點P坐標為（0，1），C′D=

22+22

=2

2

，
∴△PCD的周長的最小值為2

2

+2；
（3）△PCD為等腰三角形時，分三種情況討論：
①當PC=PD時，P在CD的垂直平分線上，與y軸交點即為點P，坐標為（0，1）；
②當CP=CD時，CP=2，以C為圓心，2為半徑畫弧，與y軸交于兩點，坐標分別為（0，

3

），（0，-

3

）；
③當DP=CD時，以D為圓心，2為半徑畫弧，與y軸交于兩點，坐標分別為（0，2+

3

），（0，2-

3

）；
綜上所述：當△PCD為等腰三角形時，點P坐標為（0，1）或（0，

3

），或（0，-

3

），或（0，2+

3

），或（0，2-

3

）；
（4）當△PCD為直角三角形時，分三種情況討論：
①當D為直角頂點時，點P坐標為（0，2）；
②當點C為直角頂點時，點P坐標為（0，0）；
③當P為直角頂點時，點P坐標為（0，1）；
綜上所述：當△PCD為直角三角形時，點P坐標為（0，2），或（0，0），或（0，1）．

點評：本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標、三角形的面積、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形、直角三角形等知識；本題難度較大，綜合性強；特別注意（3）（4）中利用分類討論的方法，避免漏解．