Question

【題目】已知四邊形ABCD為菱形，連接BD，點E為菱形ABCD外任一點．

（1）如圖（1），若∠A=45°，AB=，點E為過點B作AD邊的垂線與CD邊的延長線的交點，BE，AD交于點F，求DE的長．

（2）如圖（2），若2∠AEB=180°﹣∠BED，∠ABE=60°，求證：BC=BE+DE

（3）如圖（3），若點E在的CB延長線上時，連接DE，試猜想∠BED，∠ABD，∠CDE三個角之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫出結(jié)論

Answer 1

【答案】（1）2﹣．（2）證明參見解析；（3）2∠ABD=∠BED+∠CDE．

【解析】

試題分析：（1）首先證明△AFB與△EFD為等腰直角三角形，然后在△ABF中依據(jù)勾股定理可求得BF和AF的長，從而得到DF的長，然后在Rt△EDF中，可求得DE的長；（2）延長DE至K，使EK=EB，連結(jié)AK．首先證明∠AEB=∠AEK，然后依據(jù)SAS證明△AEB≌△AEK，由全等三角形的性質(zhì)及等邊三角形的判斷定理可證明△AKD為等邊三角形，于是得到KD=BC，通過等量代換可得到問題的答案；（3）記AB與DE的交點為O．首先證明依據(jù)菱形的性質(zhì)可得到∠ABC=2∠ABD，然后依據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可證明∠CDE=∠BOE，最后依據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得到問題的答案．

試題解析：（1）如圖1所示：

∵四邊形ABCD為菱形，∴AD=AB=，AB∥CD．∴∠A=∠ADE=45°．∵AD⊥BE，∴∠AFB=DFE=90°．∴△AFB與△EFD為等腰直角三角形．∴BF2+AF2=AB2，即：2BF2=6，∴BF=AF=．∵△EFD為等腰直角三角形，∴EF=DF=AD﹣AF=﹣．∴DE=EF=（﹣）=2﹣．（2）如圖2所示：延長DE至K，使EK=EB，聯(lián)結(jié)AK．

∵2∠AEB=180°﹣∠BED，∴∠BED=180°﹣2∠AEB=180°﹣∠AEB﹣∠AEK．∴∠AEB=∠AEK．在△AEB和△AEK中，∴△AEB≌△AEK．∴∠K=∠ABE=60°，Ak=AB．又∵AB=AD，∴AK=AD．∴△AKD為等邊三角形．∴KD=AD．∴KD=BC．∵KD=KE+DE，∴CB=EB+DE．（3）如圖3所示：記AB與DE的交點為O．

∵四邊形ABCD為菱形，∴AB∥DC，∠ABC=2∠ABD．∴∠CDE=∠BOE．∵∠ABC=∠BED+∠EOB，∴2∠ABD=∠BED+∠CDE．