Question

【題目】閱讀下列材料：

將一個多位自然數(shù)分解為個位與個位之前的數(shù)，讓個位之前的數(shù)減去個位數(shù)的兩倍，若所得之差能被7整除，則原多位自然數(shù)一定能被7整除．也稱這個數(shù)為“要塞數(shù)”．例如：將數(shù)1078分解為8和107，107﹣8×2＝91，因為91能被7整除，所以1078能被7整除，就稱1078為“要塞數(shù)”．

完成下列問題：

（1）若一個三位自然數(shù)是“要塞數(shù)”，且個位數(shù)字和百位數(shù)字都是7，則這個三位自然數(shù)位　 　；

（2）若一個四位自然數(shù)M是“要塞數(shù)”，設M的個位數(shù)字為x，十位數(shù)字為y，且個位數(shù)字與百位數(shù)字的和為13，十位數(shù)字與千位數(shù)字的和也為13，記F（M）＝|x﹣y|，求F（M）的最大值．

Answer 1

【答案】（1）727或797；（2）3.

【解析】

（1）設三位數(shù)的十位數(shù)是a（0≤a≤9），由這個三位數(shù)是“要塞數(shù)”，可得70+a-2×7=54+a能被7整除，即可求a；

（2）由已知這個四位數(shù)的千位數(shù)字是13-y，百位數(shù)字是13-x，且4≤x≤9，4≤y≤9，由已知可得100（13-y）+10（13-x）+y-2x=1430-99y-12x能被7整除，分別代入數(shù)驗證可得x=5，y=5；x=6，y=7；x=7，y=9；x=9，y=6，即可求解．

解：（1）設三位數(shù)的十位數(shù)是a（0≤a≤9），

∵個位數(shù)字和百位數(shù)字都是7，

∴這個三位數(shù)是，

∵這個三位數(shù)是“要塞數(shù)”，

∴70+a﹣2×7＝54+a能被7整除，

∴a＝2或a＝9，

∴這個三位數(shù)是727或797；

（2）由已知這個四位數(shù)的千位數(shù)字是13﹣y，百位數(shù)字是13﹣x，且4≤x≤9，4≤y≤9，

∵四位數(shù)是“要塞數(shù)”，

∴100（13﹣y）+10（13﹣x）+y﹣2x＝1430﹣99y﹣12x能被7整除，

∴x＝5，y＝5；x＝6，y＝7；x＝7，y＝9；x＝9，y＝6；

∴F（M）＝|x﹣y|的最大值是3．