如圖,已知AB是圓O的直徑,BC是圓O的弦,弦ED⊥AB于點(diǎn)F,交BC于點(diǎn)G,過點(diǎn)C作圓O的切線與ED的延長線交于點(diǎn)P.

(1)求證:PC=PG;
(2)點(diǎn)C在劣弧AD上運(yùn)動時,其他條件不變,若點(diǎn)G是BC的中點(diǎn),試探究CG、BF、BO三者之間的數(shù)量關(guān)系,并寫出證明過程;
(3)在滿足(2)的條件下,已知圓為O的半徑為5,若點(diǎn)O到BC的距離為時,求弦ED的長.
解:(1)證明:如圖,連接OC,

∵PC為⊙O的切線,∴OC⊥PC!唷螼CG+∠PCG=90°。
∵ED⊥AB,∴∠B+∠BGF=90°。
∵OB=OC,∴∠B=∠OCG!唷螾CG=∠BGF。
又∵∠BGF=∠PGC,∴∠PGC=∠PCG。
∴PC=PG。
(2)CG、BF、BO三者之間的數(shù)量關(guān)系為CG2=BO•BF。理由如下:
如圖,連接OG,
∵點(diǎn)G是BC的中點(diǎn),∴OG⊥BC,BG=CG。∴∠OGB=90°。
∵∠OBG=∠GBF,∴Rt△BOG∽Rt△BGF!郆G:BF=BO:BG。
∴BG2=BO•BF!郈G2=BO•BF。
(3)如圖,連接OE,
由(2)得BG⊥BC,∴OG=。
在Rt△OBG中,OB=5,∴。
由(2)得BG2=BO•BF,∴!郞F=1。
在Rt△OEF中,。
∵AB⊥ED,∴EF=DF。
∴DE=2EF=

試題分析:(1)連接OC,根據(jù)切線的性質(zhì)得OC⊥PC,則∠OCG+∠PCG=90°,由ED⊥AB得∠B+∠BGF=90°,而∠B=∠OCG,所以∠PCG=∠BGF,根據(jù)對頂角相等得∠BGF=∠PGC,于是∠PGC=∠PCG,所以PC=PG。
(2)連接OG,由點(diǎn)G是BC的中點(diǎn),根據(jù)垂徑定理的推論得OG⊥BC,BG=CG,易證得Rt△BOG∽Rt△BGF,則BG:BF=BO:BG,即BG2=BO•BF,把BG用CG代換得到CG2=BO•BF。
(3)連接OE,OG=OG=,在Rt△OBG中,利用勾股定理計(jì)算出BG=2,再利用BG2=BO•BF可計(jì)算出BF,從而得到OF=1,在Rt△OEF中,根據(jù)勾股定理計(jì)算出EF=2,由于AB⊥ED,根據(jù)垂徑定理可得EF=DF,于是有DE=2EF=4。
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②如圖2,當(dāng)E,A,D三點(diǎn)在同一直線上時,求線段OA的長;
(2)以正方形ABCD的邊AD與OF重合的位置為初始位置,向左移動正方形(圖3),至邊BC與OF重合時結(jié)束移動,M,N分別是邊BC,AD與⊙O的公共點(diǎn),求扇形MON的面積的范圍.

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