Question

【題目】閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：

楊輝三角

我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾在給青少年撰寫的“數(shù)學(xué)是我國人民所擅長的學(xué)科”一文中談到，我國古代數(shù)學(xué)的許多創(chuàng)新與發(fā)展都曾居世界前列，他說：“實際上我們祖國偉大人民在人類史上，有過無比睿智的成就．”其中“楊輝三角”就是一例．

在我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝（約13世紀(jì)）所著的《詳解九章算術(shù)》（1261年）一書中，給出了二項式的展開式（按的次數(shù)由大到小的順序排列）及其系數(shù)規(guī)律．

如圖所示

任務(wù)：（1）通過觀察，圖中的（▲）中可填入的數(shù)字依次為______、______、______；

（2）請直接寫出的展開式：______；

（3）根據(jù)（2）中的規(guī)律，求的值，寫出計算過程．

Answer 1

【答案】（1）4，6，4；（2）；（3）14641．

【解析】

（1）根據(jù)“楊輝三角”的規(guī)律寫出各項系數(shù)即可；

（2）根據(jù)“楊輝三角”的規(guī)律即可得答案；

（3）把114變形為(10+1)4，根據(jù)“楊輝三角”的規(guī)律計算即可得答案.

（1）∵“楊輝三角”的特征為兩條斜邊都是數(shù)字1組成，其余的數(shù)是等于它“肩”上的兩數(shù)之和，

∴（▲）中可填入的數(shù)字依次為4，6，4，

故答案為：4，6，4

（2）由（1）可知的展開式中各項系數(shù)為1、4、6、4、1，

∴=，

故答案為：

（3）