【題目】如圖1已知拋物線y=ax2+bx﹣3與x軸相交于A(﹣1,0)、B(3,0),P為拋物線上第四象限上的點.
(1)求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式;
(2)如圖1,過點P作PD⊥x軸于點D,PD交BC于點E,當線段PE的長度最大時,求點P的坐標.
(3)如圖2,當線段PE的長度最大時,作PF⊥BC于點F,連結(jié)DF.在射線PD上有一點Q,滿足∠PQB=∠DFB,問在坐標軸上是否存在一點R,使得S△RBE=S△QBE?如果存在,直接寫出R點的坐標;如果不存在,請說明理由.
【答案】(1)y=x2﹣2x﹣3;(2)當m=時,PE最大,此時P(,﹣);(3)R的坐標為:(﹣,0)或(,0)或(0,)或(0,﹣).
【解析】
(1)利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式;
(2)首先求出點C的坐標,再由待定系數(shù)法求得直線BC的解析式是y=x﹣3;設P(m,m2﹣2m﹣3).過點P作PD⊥x軸于點D,PD交BC于點E,從而E(m,m﹣3),故PE=(m﹣3)﹣(m2﹣2m﹣3)=﹣m2+3m=﹣(m)2,從而求得當m時,PE最大,此時P();
(3)首先求得點E的坐標,PE長度,進而得出BD的長度,根據(jù)點B、C的坐標判斷出△OBC是等腰直角三角形,進而根據(jù)勾股定理得到BE的長度,根據(jù)對頂角相等推知在直角△PEF中,∠PEF=90°,根據(jù)勾股定理得出EF的長度,從而求得BF的長度,然后判斷出△QBE∽△FDB,由相似三角形的對應邊成比例列出方程,求得QE的長度,根據(jù)三角形的面積公式求出S△BQE.當R點在x軸上時,設R(n,0),BR=|3﹣n|,根據(jù)S△RBE=S△QBE列出方程求得n的值,得出R點的坐標;當點R在y軸上時,設R(0,z),由S△BER=S△BRC﹣S△REC列出方程求得z的值,再求出R點在y軸上時的坐標,從而得出本題的答案.
(1)將A(﹣1,0)、B(3,0)分別代入y=ax2+bx﹣3得:,解得:,所以該拋物線解析式為y=x2﹣2x﹣3;
(2)如圖1,把x=0代入y=x2﹣2x﹣3,得:y=﹣3,∴C(0,﹣3).
設直線BC的解析式為:y=kx+b,將C(0,﹣3)與B(3,0),分別代入得:,解得:,∴直線BC的解析式為y=x﹣3.
設P(m,m2﹣2m﹣3),則E(m,m﹣3),∴PE=(m﹣3)﹣(m2﹣2m﹣3)=﹣m2+3m=﹣(m)2,故當m時,PE最大,此時P();
(3)如圖2,當線段PE的長度最大時,P(),E(),PE,∴D(,0),∴BD.
∵B(3,0),C(0,﹣3),∴OB=OC=3,∴△OBC是等腰直角三角形,∴∠OBC=45°.
在直角△DBE中,∠ABC=45°,BD,∴BE,∠DEB=45°,∴∠PEF=45°.
在直角△PEF中,∠PEF=45°,PE,∴EF,∴BF.
∵∠PQB=∠DFB,∠DBE=∠DEB=45°,∴△QBE∽△FDB,∴,即,∴QE.
∵S△BQEQEDB.
當點R在x軸上時,設R(n,0),BR=|3﹣n|,∴S△RBEBRDE,即|3﹣n|,則|3﹣n|,解得:n1,n2,∴R(,0)或(,0)
當R在y軸上時,設R(0,z),由S△BER=S△BRC﹣S△REC得到:3×|z+3||z+3|
解得:z1,z2,∴R(0,)或(0,).
綜上所述:符合條件的點R的坐標為:(,0)或(,0)或(0,)或(0,).
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某超市銷售櫻桃,已知櫻桃的進價為15元/千克,如果售價為20元/千克,那么每天可售出250千克,如果售價為25元/千克,那么每天可售出200千克,經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn):每天的銷售量y(千克)與售價x(元/千克)之間 存在一次函數(shù)關(guān)系.
(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)若該超市每天要獲得利潤810元,同時又要讓消費者得到實惠,則售價x應定于多少元?
(3)若櫻桃的售價不得高于28元/千克,請問售價定為多少時,該超市每天銷售櫻桃所獲的利潤最大?最大利潤是多少元?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】有四根長度分別為3,4,5,x(x為正整數(shù))的木棒,從中任取三根,首尾順次相接都能組成一個三角形則組成的三角形的周長( )
A.最小值是11B.最小值是12C.最大值是14D.最大值是15
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,△AOB是直角三角形,∠AOB=90°,OB=2OA,點A在反比例函數(shù)y=的圖象上.若點B在反比例函數(shù)y=的圖象上,則k的值為( )
A.-4 B.4 C.-2 D.2
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【題目】小明和小亮玩一個游戲:三張大小、質(zhì)地都相同的卡片上分別標有數(shù)字2,3,4(背面完全相同),現(xiàn)將標有數(shù)字的一面朝下.小明從中任意抽取一張,記下數(shù)字后放回洗勻,然后小亮從中任意抽取一張,計算小明和小亮抽得的兩個數(shù)字之和.若和為奇數(shù),則小明勝;若和為偶數(shù),則小亮勝.
(1)請你用畫樹狀圖或列表的方法,求出這兩數(shù)和為6的概率.
(2)你認為這個游戲規(guī)則對雙方公平嗎?說說你的理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖在中,,、分別是、的平分線,、相交于點.
(1)請你判斷并寫出與之間的數(shù)量關(guān)系;
(2)試判斷線段、與之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC,△ADE均為等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,將△ADE繞點A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn),連接DC,點M,P,N分別為DE,DC,BC的中點,若AD=3,AB=7,則線段MN的取值范圍是______.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】深圳市民中心廣場上有旗桿如圖①所示,某學校興趣小組測量了該旗桿的高度,如圖②,某一時刻,旗桿AB的影子一部分落在平臺上,另一部分落在斜坡上,測得落在平臺上的影長BC為16米,落在斜坡上的影長CD為8米,AB⊥BC;同一時刻,太陽光線與水平面的夾角為45°.1米的標桿EF豎立在斜坡上的影長FG為2米,求旗桿的高度.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,點P(1,5)、Q(m,n)在反比例函數(shù)的圖象上,過點P分別作x軸、y軸的垂線,垂足分別為A、B,點Q為圖象上的動點,過點Q分別作x軸、y軸的垂線,垂足分別為C、D,兩垂線相交于點E,隨著m的增大,四邊形OCQD與四邊形OAPB不重合的面積變化為( )
A. 先增大后減小 B. 先減小后增大 C. 先減小后增大再減小 D. 先增大后減小再增大
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