Question

【題目】已知平行四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)交于點(diǎn)O，點(diǎn)P是直線(xiàn)BD上任意一點(diǎn)（異于B、O、D三點(diǎn)），過(guò)P點(diǎn)作平行于AC的直線(xiàn)交直線(xiàn)AD于點(diǎn)E，交直線(xiàn)BA于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段BD上時(shí)，易證得：AC=PE+PF（如圖①所示）．當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段BD的延長(zhǎng)線(xiàn)上（如圖②所示）和當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段DB的延長(zhǎng)線(xiàn)上（如圖③所示）兩種情況時(shí)，探究線(xiàn)段AC、PE、PF之間的數(shù)量關(guān)系，并對(duì)圖③的結(jié)論進(jìn)行證明．

Answer 1

【答案】解：當(dāng)P在BD的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，如圖②，延長(zhǎng)FE交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G，

∵AC∥FG，
∴，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AO=CO，
∴PF=PG，
∴EG=PG﹣PE=PF﹣PE，
又∵AB∥CG，AC∥EG，
∴四邊形ACGE為平行四邊形，
∴AC=EG，
∴AC=PF﹣PE；
當(dāng)P在DB的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，如圖③，延長(zhǎng)CB交EF于點(diǎn)G，

∵AC∥EF，
∴，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AO=CO，
∴PG=PF，
∴EG=PE﹣PG=PE﹣PF，
又∵AC∥EG，AE∥CG，
∴四邊形AEGC為平行四邊形，
∴EG=AC，
∴AC=PE﹣PF．
【解析】在②中延長(zhǎng)FE交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G，可證得PF=PG，再證明四邊形ACGE為平行四邊形可得AC=EG，可得到AC=PF﹣PE；在③中延長(zhǎng)CB交EF于點(diǎn)G，可證得PG=PF，可得到AC=PE﹣PF．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的平行四邊形的性質(zhì)，需要了解平行四邊形的對(duì)邊相等且平行；平行四邊形的對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)；平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)互相平分才能得出正確答案．