Question

如圖，AB為⊙O的直徑，CD是弦，且AB⊥CD于點E．連結(jié)AC、OC、BC．
（1）求證：∠ACO=∠BCD；
（2）若EB=2cm，CD=8m，求⊙O的直徑．

Answer 1

考點：垂徑定理,勾股定理

專題：

分析：（1）根據(jù)垂徑定理得出弧BC=弧BD，根據(jù)圓周角定理得出∠BCD=∠CAB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠CAB=∠ACO，即可得出答案；
（2）根據(jù)垂徑定理求出CE，根據(jù)勾股定理求出BC，證△BCE和△BCA相似得出比例式，代入即可求出答案．

解答：（1）證明：∵AB⊥CD，AB過O，
∴弧BC=弧BD，
∴∠BCD=∠CAB，
∵OA=OC，
∴∠CAB=∠ACO，
∴∠ACO=∠BCD；

（2）解：∵AB⊥CD，AB過O，AB=8m，
∴CE=DE=4m，
在Rt△CEB中，由勾股定理得：BC=

CE2+BE2

=

42+22

=2

5

（m），
∵AB為直徑，AB⊥CD，
∴∠BCA=∠CEB=90°，
∵∠B=∠B，
∴△BEC∽△BCA，
∴

BC

BE

=

BA

BC

，
∴BA=

BC2

BE

=

(2 5 )2

2

=10（m），
即⊙O的直徑是10m．

點評：本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，圓周角定理，垂徑定理，等腰三角形性質(zhì)，勾股定理等知識點的應(yīng)用，主要考查學生綜合運用定理進行推理和計算的能力．