【題目】如圖,在平面直角坐標系中,已知拋物線y=ax2+bx﹣2(a≠0)與x軸交于A(1,0)、B(3,0)兩點,與y軸交于點C,其頂點為點D,點E的坐標為(0,﹣1),該拋物線與BE交于另一點F,連接BC.
(1)求該拋物線的解析式,并用配方法把解析式化為y=a(x﹣h)2+k的形式;
(2)若點H(1,y)在BC上,連接FH,求△FHB的面積;
(3)一動點M從點D出發(fā),以每秒1個單位的速度平沿行與y軸方向向上運動,連接OM,BM,設(shè)運動時間為t秒(t>0),在點M的運動過程中,當t為何值時,∠OMB=90°?
(4)在x軸上方的拋物線上,是否存在點P,使得∠PBF被BA平分?若存在,請直接寫出點P的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】
(1)
解:∵拋物線y=ax2+bx﹣2(a≠0)與x軸交于A(1,0)、B(3,0)兩點,
∴
∴ ,
∴拋物線解析式為y=﹣ x2+ x﹣2=﹣ (x﹣2)2+ ;
(2)
解:如圖1,
過點A作AH∥y軸交BC于H,BE于G,
由(1)有,C(0,﹣2),
∵B(0,3),
∴直線BC解析式為y= x﹣2,
∵H(1,y)在直線BC上,
∴y=﹣ ,
∴H(1,﹣ ),
∵B(3,0),E(0,﹣1),
∴直線BE解析式為y=﹣ x﹣1,
∴G(1,﹣ ),
∴GH= ,
∵直線BE:y=﹣ x﹣1與拋物線y=﹣ x2+ x﹣2相較于F,B,
∴F( ,﹣ ),
∴S△FHB= GH×|xG﹣xF|+ GH×|xB﹣xG|
= GH×|xB﹣xF|
= × ×(3﹣ )
= .
(3)
解:如圖2,
由(1)有y=﹣ x2+ x﹣2,
∵D為拋物線的頂點,
∴D(2, ),
∵一動點M從點D出發(fā),以每秒1個單位的速度平沿行與y軸方向向上運動,
∴設(shè)M(2,m),(m> ),
∴OM2=m2+4,BM2=m2+1,AB2=9,
∵∠OMB=90°,
∴OM2+BM2=AB2,
∴m2+4+m2+1=9,
∴m= 或m=﹣ (舍),
∴M(0, ),
∴MD= ﹣ ,
∵一動點M從點D出發(fā),以每秒1個單位的速度平沿行與y軸方向向上運動,
∴t= ﹣ ;
(4)
解:存在點P,使∠PBF被BA平分,
如圖3,
∴∠PBO=∠EBO,
∵E(0,﹣1),
∴在y軸上取一點N(0,1),
∵B(3,0),
∴直線BN的解析式為y=﹣ x+1①,
∵點P在拋物線y=﹣ x2+ x﹣2②上,
聯(lián)立①②得, 或 (舍),
∴P( , ),
即:在x軸上方的拋物線上,存在點P,使得∠PBF被BA平分,P( , ).
【解析】此題是二次函數(shù)綜合題,主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式,勾股定理,兩點間的距離公式,角平分線的意義,解本題的關(guān)鍵是確定函數(shù)解析式.(1)用待定系數(shù)法求出拋物線解析式;(2)先求出GH,點F的坐標,用三角形的面積公式計算即可;(3)設(shè)出點M,用勾股定理求出點M的坐標,從而求出MD,最后求出時間t;(4)由∠PBF被BA平分,確定出過點B的直線BN的解析式,求出此直線和拋物線的交點即可.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解兩點間的距離的相關(guān)知識,掌握同軸兩點求距離,大減小數(shù)就為之.與軸等距兩個點,間距求法亦如此.平面任意兩個點,橫縱標差先求值.差方相加開平方,距離公式要牢記,以及對角的平分線的理解,了解從一個角的頂點引出的一條射線,把這個角分成兩個相等的角,這條射線叫做這個角的平分線.
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【題目】定義:如圖1,點C在線段AB上,若滿足AC2=BCAB,則稱點C為線段AB的黃金分割點.如圖2,△ABC中,AB=AC=1,∠A=36°,BD平分∠ABC交AC于點D.
(1)求證:點D是線段AC的黃金分割點;
(2)求出線段AD的長.
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【題目】如圖,已知:AB是⊙O的弦,過點B作BC⊥AB交⊙O于點C,過點C作⊙O的切線交AB的延長線于點D,取AD的中點E,過點E作EF∥BC交DC的延長線于點F,連接AF并延長交BC的延長線于點G.
求證:
(1)FC=FG;
(2)AB2=BCBG.
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【題目】一個不透明的袋子中裝有紅、白兩種顏色的小球,這些球除顏色外都相同,其中紅球有1個,若從中隨機摸出一個球,這個球是白球的概率為 .
(1)求袋子中白球的個數(shù);(請通過列式或列方程解答)
(2)隨機摸出一個球后,放回并攪勻,再隨機摸出一個球,求兩次都摸到相同顏色的小球的概率.(請結(jié)合樹狀圖或列表解答)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某片果園有果樹80棵,現(xiàn)準備多種一些果樹提高果園產(chǎn)量,但是如果多種樹,那么樹之間的距離和每棵樹所受光照就會減少,單棵樹的產(chǎn)量隨之降低.若該果園每棵果樹產(chǎn)果y(千克),增種果樹x(棵),它們之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.
(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)在投入成本最低的情況下,增種果樹多少棵時,果園可以收獲果實6750千克?
(3)當增種果樹多少棵時,果園的總產(chǎn)量w(千克)最大?最大產(chǎn)量是多少?
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【題目】如圖,AB是半圓O的直徑,點P是BA延長線上一點,PC是⊙O的切線,切點為C,過點B作BD⊥PC交PC的延長線于點D,連接BC.求證:
(1)∠PBC=∠CBD;
(2)BC2=ABBD.
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【題目】我市某風景區(qū)門票價格如圖所示,百姓旅行社有甲、乙兩個旅行團隊,計劃在“五一”小黃金周期間到該景點游玩,兩團隊游客人數(shù)之和為120人,乙團隊人數(shù)不超過50人.設(shè)甲團隊人數(shù)為x人,如果甲、乙兩團隊分別購買門票,兩團隊門票款之和為W元.
(1)求W關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x 的取值范圍;
(2)若甲團隊人數(shù)不超過100人,請說明甲、乙兩團隊聯(lián)合購票比分別購票最多可節(jié)約多少元.
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